ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqp1t GIF version

Theorem iseqp1t 9609
Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqp1t.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqp1t.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqp1t.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqp1t.t (𝜑𝑆𝑇)
Assertion
Ref Expression
iseqp1t (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem iseqp1t
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑧 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqp1t.m . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 8775 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 fveq2 5230 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
54eleq1d 2151 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
6 iseqp1t.f . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
76ralrimiva 2439 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
8 uzid 8784 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
93, 8syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
105, 7, 9rspcdva 2715 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
11 iseqp1t.t . . . 4 (𝜑𝑆𝑇)
12 iseqp1t.pl . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
136, 12iseqovex 9599 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)
14 iseqvalcbv 9601 . . . 4 frec((𝑎 ∈ (ℤ𝑀), 𝑏𝑇 ↦ ⟨(𝑎 + 1), (𝑎(𝑐 ∈ (ℤ𝑀), 𝑑𝑆 ↦ (𝑑 + (𝐹‘(𝑐 + 1))))𝑏)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
153, 14, 6, 12, 11iseqvalt 9602 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇) = ran frec((𝑎 ∈ (ℤ𝑀), 𝑏𝑇 ↦ ⟨(𝑎 + 1), (𝑎(𝑐 ∈ (ℤ𝑀), 𝑑𝑆 ↦ (𝑑 + (𝐹‘(𝑐 + 1))))𝑏)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
163, 10, 11, 13, 14, 15frecuzrdgsuct 9576 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁)))
171, 16mpdan 412 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁)))
18 eqid 2083 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
1918, 3, 6, 12, 11iseqfclt 9606 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
2019, 1ffvelrnd 5356 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) ∈ 𝑆)
21 fveq2 5230 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2221eleq1d 2151 . . . . 5 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑆))
23 peano2uz 8822 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
241, 23syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2522, 7, 24rspcdva 2715 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑆)
2612, 20, 25caovcld 5706 . . 3 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ 𝑆)
27 oveq1 5571 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 + 1) = (𝑁 + 1))
2827fveq2d 5234 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2928oveq2d 5580 . . . 4 (𝑧 = 𝑁 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
30 oveq1 5571 . . . 4 (𝑤 = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) → (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
31 eqid 2083 . . . 4 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3229, 30, 31ovmpt2g 5687 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ 𝑆) → (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
331, 20, 26, 32syl3anc 1170 . 2 (𝜑 → (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
3417, 33eqtrd 2115 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  wss 2982  cop 3419  cfv 4952  (class class class)co 5564  cmpt2 5566  freccfrec 6060  1c1 7114   + caddc 7116  cz 8502  cuz 8770  seqcseq 9591
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-addcom 7208  ax-addass 7210  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-ltadd 7224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-inn 8177  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-iseq 9592
This theorem is referenced by:  iseqsst  9612
  Copyright terms: Public domain W3C validator