ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqval GIF version

Theorem iseqval 9384
Description: Value of the sequence builder function. (Contributed by Jim Kingdon, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqval.1 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
iseqval.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqval.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
iseqval (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = ran 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑀,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem iseqval
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqval.1 . . . 4 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
2 simprl 491 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
3 simprr 492 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
4 iseqval.pl . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
54caovclg 5681 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
65adantlr 454 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
7 iseqval.f . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
87ralrimiva 2409 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
9 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
109eleq1d 2122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑆))
1110cbvralv 2550 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
128, 11sylib 131 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
1312adantr 265 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
14 peano2uz 8622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
15 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 + 1) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
1615eleq1d 2122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 + 1) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆))
1716rspcv 2669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑦 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑦) ∈ 𝑆 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆))
1814, 17syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑦 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑦) ∈ 𝑆 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆))
1918ad2antrl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑦) ∈ 𝑆 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆))
2013, 19mpd 13 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆)
216, 3, 20caovcld 5682 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆)
22 oveq1 5547 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 + 1) = (𝑥 + 1))
2322fveq2d 5210 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
2423oveq2d 5556 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
25 oveq1 5547 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
26 eqid 2056 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
2724, 25, 26ovmpt2g 5663 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆 ∧ (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
282, 3, 21, 27syl3anc 1146 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
29283impb 1111 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
3029opeq2d 3584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆) → ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩ = ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩)
3130mpt2eq3dva 5597 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩))
32 freceq1 6010 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩) → frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
3331, 32syl 14 . . . 4 (𝜑 → frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
341, 33syl5eq 2100 . . 3 (𝜑𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
3534rneqd 4591 . 2 (𝜑 → ran 𝑅 = ran frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
36 df-iseq 9376 . 2 seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = ran frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
3735, 36syl6reqr 2107 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = ran 𝑅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  cop 3406  ran crn 4374  cfv 4930  (class class class)co 5540  cmpt2 5542  freccfrec 6008  1c1 6948   + caddc 6950  cuz 8569  seqcseq 9375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-iseq 9376
This theorem is referenced by:  iseqfn  9385  iseq1  9386  iseqcl  9387  iseqp1  9389
  Copyright terms: Public domain W3C validator