Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqval GIF version

Theorem iseqval 8900
 Description: Value of the sequence builder function. (Contributed by Jim Kingdon, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqval.1 𝑅 = frec((x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
iseqval.f ((φ x (ℤ𝑀)) → (𝐹x) 𝑆)
iseqval.pl ((φ (x 𝑆 y 𝑆)) → (x + y) 𝑆)
Assertion
Ref Expression
iseqval (φ → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = ran 𝑅)
Distinct variable groups:   w,𝐹,x,y,z   w, + ,x,y,z   w,𝑀,x,y,z   w,𝑆,x,y,z   φ,x,y
Allowed substitution hints:   φ(z,w)   𝑅(x,y,z,w)

Proof of Theorem iseqval
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqval.1 . . . 4 𝑅 = frec((x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
2 simprl 483 . . . . . . . . 9 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → x (ℤ𝑀))
3 simprr 484 . . . . . . . . 9 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → y 𝑆)
4 iseqval.pl . . . . . . . . . . . 12 ((φ (x 𝑆 y 𝑆)) → (x + y) 𝑆)
54caovclg 5595 . . . . . . . . . . 11 ((φ (𝑎 𝑆 𝑏 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) 𝑆)
65adantlr 446 . . . . . . . . . 10 (((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) (𝑎 𝑆 𝑏 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) 𝑆)
7 iseqval.f . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ x (ℤ𝑀)) → (𝐹x) 𝑆)
87ralrimiva 2386 . . . . . . . . . . . . 13 (φx (ℤ𝑀)(𝐹x) 𝑆)
9 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (x = y → (𝐹x) = (𝐹y))
109eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . 14 (x = y → ((𝐹x) 𝑆 ↔ (𝐹y) 𝑆))
1110cbvralv 2527 . . . . . . . . . . . . 13 (x (ℤ𝑀)(𝐹x) 𝑆y (ℤ𝑀)(𝐹y) 𝑆)
128, 11sylib 127 . . . . . . . . . . . 12 (φy (ℤ𝑀)(𝐹y) 𝑆)
1312adantr 261 . . . . . . . . . . 11 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → y (ℤ𝑀)(𝐹y) 𝑆)
14 peano2uz 8302 . . . . . . . . . . . . 13 (x (ℤ𝑀) → (x + 1) (ℤ𝑀))
15 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y = (x + 1) → (𝐹y) = (𝐹‘(x + 1)))
1615eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . 14 (y = (x + 1) → ((𝐹y) 𝑆 ↔ (𝐹‘(x + 1)) 𝑆))
1716rspcv 2646 . . . . . . . . . . . . 13 ((x + 1) (ℤ𝑀) → (y (ℤ𝑀)(𝐹y) 𝑆 → (𝐹‘(x + 1)) 𝑆))
1814, 17syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (x (ℤ𝑀) → (y (ℤ𝑀)(𝐹y) 𝑆 → (𝐹‘(x + 1)) 𝑆))
1918ad2antrl 459 . . . . . . . . . . 11 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → (y (ℤ𝑀)(𝐹y) 𝑆 → (𝐹‘(x + 1)) 𝑆))
2013, 19mpd 13 . . . . . . . . . 10 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → (𝐹‘(x + 1)) 𝑆)
216, 3, 20caovcld 5596 . . . . . . . . 9 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → (y + (𝐹‘(x + 1))) 𝑆)
22 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . 12 (z = x → (z + 1) = (x + 1))
2322fveq2d 5125 . . . . . . . . . . 11 (z = x → (𝐹‘(z + 1)) = (𝐹‘(x + 1)))
2423oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10 (z = x → (w + (𝐹‘(z + 1))) = (w + (𝐹‘(x + 1))))
25 oveq1 5462 . . . . . . . . . 10 (w = y → (w + (𝐹‘(x + 1))) = (y + (𝐹‘(x + 1))))
26 eqid 2037 . . . . . . . . . 10 (z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1)))) = (z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))
2724, 25, 26ovmpt2g 5577 . . . . . . . . 9 ((x (ℤ𝑀) y 𝑆 (y + (𝐹‘(x + 1))) 𝑆) → (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y) = (y + (𝐹‘(x + 1))))
282, 3, 21, 27syl3anc 1134 . . . . . . . 8 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y) = (y + (𝐹‘(x + 1))))
29283impb 1099 . . . . . . 7 ((φ x (ℤ𝑀) y 𝑆) → (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y) = (y + (𝐹‘(x + 1))))
3029opeq2d 3547 . . . . . 6 ((φ x (ℤ𝑀) y 𝑆) → ⟨(x + 1), (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y)⟩ = ⟨(x + 1), (y + (𝐹‘(x + 1)))⟩)
3130mpt2eq3dva 5511 . . . . 5 (φ → (x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y)⟩) = (x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (y + (𝐹‘(x + 1)))⟩))
32 freceq1 5919 . . . . 5 ((x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y)⟩) = (x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (y + (𝐹‘(x + 1)))⟩) → frec((x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (y + (𝐹‘(x + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
3331, 32syl 14 . . . 4 (φ → frec((x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (y + (𝐹‘(x + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
341, 33syl5eq 2081 . . 3 (φ𝑅 = frec((x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (y + (𝐹‘(x + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
3534rneqd 4506 . 2 (φ → ran 𝑅 = ran frec((x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (y + (𝐹‘(x + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
36 df-iseq 8893 . 2 seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = ran frec((x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (y + (𝐹‘(x + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
3735, 36syl6reqr 2088 1 (φ → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = ran 𝑅)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ⟨cop 3370  ran crn 4289  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455   ↦ cmpt2 5457  freccfrec 5917  1c1 6712   + caddc 6714  ℤ≥cuz 8249  seqcseq 8892 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893 This theorem is referenced by:  iseqfn  8901  iseq1  8902  iseqcl  8903  iseqp1  8904
 Copyright terms: Public domain W3C validator