Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqz GIF version

Theorem iseqz 9413
 Description: If the operation + has an absorbing element 𝑍 (a.k.a. zero element), then any sequence containing a 𝑍 evaluates to 𝑍. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqhomo.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqhomo.2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqhomo.s (𝜑𝑆𝑉)
iseqz.3 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
iseqz.4 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
iseqz.5 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqz.6 (𝜑𝑁𝑉)
iseqz.7 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
iseqz (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iseqz
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqz.5 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2 elfzuz3 8989 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
31, 2syl 14 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
4 fveq2 5206 . . . . 5 (𝑤 = 𝐾 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾))
54eqeq1d 2064 . . . 4 (𝑤 = 𝐾 → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑤) = 𝑍 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = 𝑍))
65imbi2d 223 . . 3 (𝑤 = 𝐾 → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑤) = 𝑍) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = 𝑍)))
7 fveq2 5206 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘))
87eqeq1d 2064 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑤) = 𝑍 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) = 𝑍))
98imbi2d 223 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑤) = 𝑍) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) = 𝑍)))
10 fveq2 5206 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑘 + 1)))
1110eqeq1d 2064 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑤) = 𝑍 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑘 + 1)) = 𝑍))
1211imbi2d 223 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑤) = 𝑍) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑘 + 1)) = 𝑍)))
13 fveq2 5206 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑤) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁))
1413eqeq1d 2064 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑤) = 𝑍 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = 𝑍))
1514imbi2d 223 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑤) = 𝑍) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = 𝑍)))
16 elfzuz 8988 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
171, 16syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
18 eluzelz 8578 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
1917, 18syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
20 iseqhomo.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑉)
21 simpr 107 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐾))
2217adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
23 uztrn 8585 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
2421, 22, 23syl2anc 397 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
25 iseqhomo.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
2624, 25syldan 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
27 iseqhomo.1 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2819, 20, 26, 27iseq1 9386 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐹𝐾))
29 iseqz.7 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝑍)
3028, 29eqtrd 2088 . . . . . 6 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = 𝑍)
31 iseqeq1 9378 . . . . . . . 8 (𝐾 = 𝑀 → seq𝐾( + , 𝐹, 𝑆) = seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆))
3231fveq1d 5208 . . . . . . 7 (𝐾 = 𝑀 → (seq𝐾( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾))
3332eqeq1d 2064 . . . . . 6 (𝐾 = 𝑀 → ((seq𝐾( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = 𝑍 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = 𝑍))
3430, 33syl5ibcom 148 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = 𝑍))
35 eluzel2 8574 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3617, 35syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3736adantr 265 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
38 simpr 107 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
3920adantr 265 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑆𝑉)
4025adantlr 454 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
4127adantlr 454 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
4237, 38, 39, 40, 41iseqm1 9391 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹𝐾)))
4329adantr 265 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝐾) = 𝑍)
4443oveq2d 5556 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹𝐾)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
45 oveq1 5547 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝐾 − 1)) → (𝑥 + 𝑍) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
4645eqeq1d 2064 . . . . . . . 8 (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝐾 − 1)) → ((𝑥 + 𝑍) = 𝑍 ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍))
47 iseqz.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
4847ralrimiva 2409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
4948adantr 265 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
50 eluzp1m1 8592 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
5136, 50sylan 271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
5251, 39, 40, 41iseqcl 9387 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝐾 − 1)) ∈ 𝑆)
5346, 49, 52rspcdva 2679 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍)
5442, 44, 533eqtrd 2092 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = 𝑍)
5554ex 112 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = 𝑍))
56 uzp1 8602 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
5717, 56syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
5834, 55, 57mpjaod 648 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = 𝑍)
5958a1i 9 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = 𝑍))
60 simpr 107 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝐾))
6117adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
62 uztrn 8585 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6360, 61, 62syl2anc 397 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6420adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑆𝑉)
6525adantlr 454 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6627adantlr 454 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
6763, 64, 65, 66iseqp1 9389 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6867adantr 265 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) = 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
69 simpr 107 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) = 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) = 𝑍)
7069oveq1d 5555 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) = 𝑍) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))) = (𝑍 + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
71 oveq2 5548 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
7271eqeq1d 2064 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹‘(𝑘 + 1)) → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝑍 + (𝐹‘(𝑘 + 1))) = 𝑍))
73 iseqz.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
7473ralrimiva 2409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
7574adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
76 fveq2 5206 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
7776eleq1d 2122 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆))
7825ralrimiva 2409 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
7978adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
80 peano2uz 8622 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
8163, 80syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
8277, 79, 81rspcdva 2679 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑆)
8372, 75, 82rspcdva 2679 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑍 + (𝐹‘(𝑘 + 1))) = 𝑍)
8483adantr 265 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) = 𝑍) → (𝑍 + (𝐹‘(𝑘 + 1))) = 𝑍)
8568, 70, 843eqtrd 2092 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) = 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑘 + 1)) = 𝑍)
8685ex 112 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) = 𝑍 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑘 + 1)) = 𝑍))
8786expcom 113 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝐾) → (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) = 𝑍 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑘 + 1)) = 𝑍)))
8887a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ𝐾) → ((𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) = 𝑍) → (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑘 + 1)) = 𝑍)))
896, 9, 12, 15, 59, 88uzind4 8627 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = 𝑍))
903, 89mpcom 36 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = 𝑍)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ∨ wo 639   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ∀wral 2323  ‘cfv 4930  (class class class)co 5540  1c1 6948   + caddc 6950   − cmin 7245  ℤcz 8302  ℤ≥cuz 8569  ...cfz 8976  seqcseq 9375 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-fz 8977  df-iseq 9376 This theorem is referenced by:  ibcval5  9631
 Copyright terms: Public domain W3C validator