ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iser0 GIF version

Theorem iser0 9568
Description: The value of the partial sums in a zero-valued infinite series. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
iser0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
iser0 (𝑁𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑁) = 0)

Proof of Theorem iser0
Dummy variables 𝑘 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 00id 7316 . . 3 (0 + 0) = 0
21a1i 9 . 2 (𝑁𝑍 → (0 + 0) = 0)
3 iser0.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
43eleq2i 2146 . . 3 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54biimpi 118 . 2 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 0cn 7173 . . 3 0 ∈ ℂ
7 elfzuz 9117 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
87, 3syl6eleqr 2173 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘𝑍)
98adantl 271 . . 3 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘𝑍)
10 fvconst2g 5407 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
116, 9, 10sylancr 405 . 2 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
12 0cnd 7174 . 2 (𝑁𝑍 → 0 ∈ ℂ)
133eleq2i 2146 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1413biimpri 131 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
1514adantl 271 . . . 4 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘𝑍)
166, 15, 10sylancr 405 . . 3 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
1716, 6syl6eqel 2170 . 2 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
18 addcl 7160 . . 3 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
1918adantl 271 . 2 ((𝑁𝑍 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
202, 5, 11, 12, 17, 19iseqid3s 9562 1 (𝑁𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑁) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  {csn 3406   × cxp 4369  cfv 4932  (class class class)co 5543  cc 7041  0cc0 7043   + caddc 7046  cuz 8700  ...cfz 9105  seqcseq 9521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-fz 9106  df-fzo 9230  df-iseq 9522
This theorem is referenced by:  iser0f  9569
  Copyright terms: Public domain W3C validator