ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iser0f GIF version

Theorem iser0f 9105
Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
iser0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
iser0f (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}))

Proof of Theorem iser0f
Dummy variables 𝑘 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iser0.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
21iser0 9104 . . . 4 (𝑘𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = 0)
3 c0ex 6978 . . . . 5 0 ∈ V
43fvconst2 5340 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
52, 4eqtr4d 2075 . . 3 (𝑘𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘))
65rgen 2371 . 2 𝑘𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)
7 id 19 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
8 cnex 6962 . . . . . 6 ℂ ∈ V
98a1i 9 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ℂ ∈ V)
101eleq2i 2104 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
11 0cnd 6977 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍 → 0 ∈ ℂ)
124, 11eqeltrd 2114 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
1310, 12sylbir 125 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
1413adantl 262 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
15 addcl 6963 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
1615adantl 262 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
177, 9, 14, 16iseqfn 9075 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn (ℤ𝑀))
181fneq2i 4957 . . . 4 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn (ℤ𝑀))
1917, 18sylibr 137 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn 𝑍)
203fconst 5045 . . . 4 (𝑍 × {0}):𝑍⟶{0}
21 ffn 5009 . . . 4 ((𝑍 × {0}):𝑍⟶{0} → (𝑍 × {0}) Fn 𝑍)
2220, 21ax-mp 7 . . 3 (𝑍 × {0}) Fn 𝑍
23 eqfnfv 5228 . . 3 ((seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
2419, 22, 23sylancl 392 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
256, 24mpbiri 157 1 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wcel 1393  wral 2303  Vcvv 2554  {csn 3372   × cxp 4306   Fn wfn 4860  wf 4861  cfv 4865  (class class class)co 5475  cc 6844  0cc0 6846   + caddc 6849  cz 8193  cuz 8421  seqcseq 9065
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-1re 6935  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-addcom 6941  ax-addass 6943  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-cnre 6952  ax-pre-ltirr 6953  ax-pre-ltwlin 6954  ax-pre-lttrn 6955  ax-pre-ltadd 6957
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-frec 5941  df-1o 5964  df-2o 5965  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-pli 6360  df-mi 6361  df-lti 6362  df-plpq 6399  df-mpq 6400  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-plqqs 6404  df-mqqs 6405  df-1nqqs 6406  df-rq 6407  df-ltnqqs 6408  df-enq0 6479  df-nq0 6480  df-0nq0 6481  df-plq0 6482  df-mq0 6483  df-inp 6521  df-i1p 6522  df-iplp 6523  df-iltp 6525  df-enr 6768  df-nr 6769  df-ltr 6772  df-0r 6773  df-1r 6774  df-0 6853  df-1 6854  df-r 6856  df-lt 6859  df-pnf 7018  df-mnf 7019  df-xr 7020  df-ltxr 7021  df-le 7022  df-sub 7140  df-neg 7141  df-inn 7867  df-n0 8130  df-z 8194  df-uz 8422  df-fz 8818  df-fzo 8943  df-iseq 9066
This theorem is referenced by:  iserclim0  9679
  Copyright terms: Public domain W3C validator