Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isermono GIF version

Theorem isermono 9401
 Description: The partial sums in an infinite series of positive terms form a monotonic sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isermono.1 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
isermono.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
isermono.3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
isermono.4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
isermono (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem isermono
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isermono.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2 elfzuz 8988 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝐾))
3 isermono.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
4 uztrn 8585 . . . 4 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
52, 3, 4syl2anr 278 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 reex 7073 . . . 4 ℝ ∈ V
76a1i 9 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → ℝ ∈ V)
8 isermono.3 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
98adantlr 454 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
10 readdcl 7065 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
1110adantl 266 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
125, 7, 9, 11iseqcl 9387 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ∈ ℝ)
13 simpr 107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)))
143adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
15 eluzelz 8578 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
1614, 15syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
171adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
18 eluzelz 8578 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
1917, 18syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 peano2zm 8340 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2119, 20syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
22 elfzelz 8992 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
2322adantl 266 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
24 1zzd 8329 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
25 fzaddel 9024 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
2616, 21, 23, 24, 25syl22anc 1147 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
2713, 26mpbid 139 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
28 zcn 8307 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
29 ax-1cn 7035 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
30 npcan 7283 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3128, 29, 30sylancl 398 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3219, 31syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3332oveq2d 5556 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐾 + 1)...𝑁))
3427, 33eleqtrd 2132 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
35 isermono.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
3635ralrimiva 2409 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹𝑥))
3736adantr 265 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹𝑥))
38 fveq2 5206 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3938breq2d 3804 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
4039rspcv 2669 . . . . 5 ((𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → (∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹𝑥) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
4134, 37, 40sylc 60 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
42 fzelp1 9038 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
4342adantl 266 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
4432oveq2d 5556 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐾...𝑁))
4543, 44eleqtrd 2132 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁))
4645, 12syldan 270 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ∈ ℝ)
47 fzss1 9028 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
4814, 47syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
49 fzp1elp1 9039 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
5049adantl 266 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
5150, 44eleqtrd 2132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...𝑁))
5248, 51sseldd 2974 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
53 elfzuz 8988 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
5452, 53syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
558ralrimiva 2409 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5655adantr 265 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5738eleq1d 2122 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
5857rspcv 2669 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
5954, 56, 58sylc 60 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6046, 59addge01d 7598 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
6141, 60mpbid 139 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6245, 5syldan 270 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
636a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ℝ ∈ V)
648adantlr 454 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6510adantl 266 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
6662, 63, 64, 65iseqp1 9389 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6761, 66breqtrrd 3818 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘(𝑘 + 1)))
681, 12, 67monoord 9399 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ∀wral 2323  Vcvv 2574   ⊆ wss 2945   class class class wbr 3792  ‘cfv 4930  (class class class)co 5540  ℂcc 6945  ℝcr 6946  0cc0 6947  1c1 6948   + caddc 6950   ≤ cle 7120   − cmin 7245  ℤcz 8302  ℤ≥cuz 8569  ...cfz 8976  seqcseq 9375 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-fz 8977  df-iseq 9376 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator