ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isocnv2 GIF version

Theorem isocnv2 5505
Description: Converse law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
isocnv2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem isocnv2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 5500 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
2 f1ofn 5180 . . 3 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝐻 Fn 𝐴)
31, 2syl 14 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Fn 𝐴)
4 isof1o 5500 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
54, 2syl 14 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵) → 𝐻 Fn 𝐴)
6 vex 2614 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
7 vex 2614 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
86, 7brcnv 4567 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
98a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐻 Fn 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
10 funfvex 5245 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐻𝑥 ∈ dom 𝐻) → (𝐻𝑥) ∈ V)
1110funfni 5051 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ V)
1211adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝐻 Fn 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ V)
13 funfvex 5245 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐻𝑦 ∈ dom 𝐻) → (𝐻𝑦) ∈ V)
1413funfni 5051 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 Fn 𝐴𝑦𝐴) → (𝐻𝑦) ∈ V)
1514adantlr 461 . . . . . . . . 9 (((𝐻 Fn 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐻𝑦) ∈ V)
16 brcnvg 4565 . . . . . . . . 9 (((𝐻𝑥) ∈ V ∧ (𝐻𝑦) ∈ V) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)))
1712, 15, 16syl2anc 403 . . . . . . . 8 (((𝐻 Fn 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)))
189, 17bibi12d 233 . . . . . . 7 (((𝐻 Fn 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥))))
1918ralbidva 2370 . . . . . 6 ((𝐻 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥))))
2019ralbidva 2370 . . . . 5 (𝐻 Fn 𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥))))
21 ralcom 2523 . . . . 5 (∀𝑦𝐴𝑥𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)))
2220, 21syl6rbbr 197 . . . 4 (𝐻 Fn 𝐴 → (∀𝑦𝐴𝑥𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))))
2322anbi2d 452 . . 3 (𝐻 Fn 𝐴 → ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥))) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)))))
24 df-isom 4962 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥))))
25 df-isom 4962 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))))
2623, 24, 253bitr4g 221 . 2 (𝐻 Fn 𝐴 → (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵)))
273, 5, 26pm5.21nii 653 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  wcel 1434  wral 2353  Vcvv 2611   class class class wbr 3806  ccnv 4391   Fn wfn 4948  1-1-ontowf1o 4952  cfv 4953   Isom wiso 4954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2613  df-sbc 2826  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-isom 4962
This theorem is referenced by:  infisoti  6541
  Copyright terms: Public domain W3C validator