ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isocnv2 GIF version

Theorem isocnv2 5479
Description: Converse law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
isocnv2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem isocnv2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 5474 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
2 f1ofn 5154 . . 3 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝐻 Fn 𝐴)
31, 2syl 14 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Fn 𝐴)
4 isof1o 5474 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
54, 2syl 14 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵) → 𝐻 Fn 𝐴)
6 vex 2577 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
7 vex 2577 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
86, 7brcnv 4545 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
98a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝐻 Fn 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
10 funfvex 5219 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐻𝑥 ∈ dom 𝐻) → (𝐻𝑥) ∈ V)
1110funfni 5026 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ V)
1211adantr 265 . . . . . . . . 9 (((𝐻 Fn 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ V)
13 funfvex 5219 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐻𝑦 ∈ dom 𝐻) → (𝐻𝑦) ∈ V)
1413funfni 5026 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 Fn 𝐴𝑦𝐴) → (𝐻𝑦) ∈ V)
1514adantlr 454 . . . . . . . . 9 (((𝐻 Fn 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐻𝑦) ∈ V)
16 brcnvg 4543 . . . . . . . . 9 (((𝐻𝑥) ∈ V ∧ (𝐻𝑦) ∈ V) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)))
1712, 15, 16syl2anc 397 . . . . . . . 8 (((𝐻 Fn 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)))
189, 17bibi12d 228 . . . . . . 7 (((𝐻 Fn 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥))))
1918ralbidva 2339 . . . . . 6 ((𝐻 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥))))
2019ralbidva 2339 . . . . 5 (𝐻 Fn 𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥))))
21 ralcom 2490 . . . . 5 (∀𝑦𝐴𝑥𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)))
2220, 21syl6rbbr 192 . . . 4 (𝐻 Fn 𝐴 → (∀𝑦𝐴𝑥𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))))
2322anbi2d 445 . . 3 (𝐻 Fn 𝐴 → ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥))) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)))))
24 df-isom 4938 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥))))
25 df-isom 4938 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))))
2623, 24, 253bitr4g 216 . 2 (𝐻 Fn 𝐴 → (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵)))
273, 5, 26pm5.21nii 630 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  wb 102  wcel 1409  wral 2323  Vcvv 2574   class class class wbr 3791  ccnv 4371   Fn wfn 4924  1-1-ontowf1o 4928  cfv 4929   Isom wiso 4930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2787  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-isom 4938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator