ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isprm4 GIF version

Theorem isprm4 10692
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only divisor greater than or equal to 2 is itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm4 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm4
StepHypRef Expression
1 isprm2 10690 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2 eluz2nn 8774 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
32pm4.71ri 384 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)))
43imbi1i 236 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
5 impexp 259 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))))
64, 5bitri 182 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))))
7 eluz2b3 8808 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1))
87imbi1i 236 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
9 impexp 259 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≠ 1 → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))))
10 bi2.04 246 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ≠ 1 → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧𝑃 → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃)))
11 nnz 8487 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
12 1zzd 8495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
13 zdceq 8540 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑧 = 1)
1411, 12, 13syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℕ → DECID 𝑧 = 1)
15 dfordc 825 . . . . . . . . . . . . 13 (DECID 𝑧 = 1 → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃)))
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃)))
17 df-ne 2250 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑧 = 1)
1817imbi1i 236 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃))
1916, 18syl6rbbr 197 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
2019imbi2d 228 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧𝑃 → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2110, 20syl5bb 190 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ≠ 1 → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2221imbi2d 228 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≠ 1 → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
239, 22syl5bb 190 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
248, 23syl5bb 190 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
2524pm5.74i 178 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
26 pm5.4 247 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
276, 25, 263bitri 204 . . . 4 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2827ralbii2 2381 . . 3 (∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
2928anbi2i 445 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
301, 29bitr4i 185 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  wral 2353   class class class wbr 3806  cfv 4953  1c1 7080  cn 8142  2c2 8192  cz 8468  cuz 8736  cdvds 10387  cprime 10680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192  ax-arch 7193  ax-caucvg 7194
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-1o 6086  df-2o 6087  df-er 6194  df-en 6310  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-2 8201  df-3 8202  df-4 8203  df-n0 8392  df-z 8469  df-uz 8737  df-q 8822  df-rp 8852  df-iseq 9558  df-iexp 9609  df-cj 9914  df-re 9915  df-im 9916  df-rsqrt 10069  df-abs 10070  df-dvds 10388  df-prm 10681
This theorem is referenced by:  nprm  10696  prmuz2  10703  dvdsprm  10709
  Copyright terms: Public domain W3C validator