Theorem isprm4 10692

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only divisor greater than or equal to 2 is itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm4	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 10690	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2		eluz2nn 8774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
3	2	pm4.71ri 384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)))
4	3	imbi1i 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))
5		impexp 259	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))))
6	4, 5	bitri 182	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))))
7		eluz2b3 8808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1))
8	7	imbi1i 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))
9		impexp 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≠ 1 → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))))
10		bi2.04 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≠ 1 → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃)))
11		nnz 8487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
12		1zzd 8495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
13		zdceq 8540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑧 = 1)
14	11, 12, 13	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → DECID 𝑧 = 1)
15		dfordc 825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (DECID 𝑧 = 1 → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃)))
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃)))
17		df-ne 2250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑧 = 1)
18	17	imbi1i 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃))
19	16, 18	syl6rbbr 197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
20	19	imbi2d 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
21	10, 20	syl5bb 190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ≠ 1 → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
22	21	imbi2d 228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≠ 1 → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
23	9, 22	syl5bb 190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
24	8, 23	syl5bb 190	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
25	24	pm5.74i 178	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
26		pm5.4 247	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
27	6, 25, 26	3bitri 204	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
28	27	ralbii2 2381	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
29	28	anbi2i 445	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
30	1, 29	bitr4i 185	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   ≠ wne 2249  ∀wral 2353   class class class wbr 3806  ‘cfv 4953  1c1 7080  ℕcn 8142  2c2 8192  ℤcz 8468  ℤ_≥cuz 8736   ∥ cdvds 10387  ℙcprime 10680

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192  ax-arch 7193  ax-caucvg 7194

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-1o 6086  df-2o 6087  df-er 6194  df-en 6310  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-2 8201  df-3 8202  df-4 8203  df-n0 8392  df-z 8469  df-uz 8737  df-q 8822  df-rp 8852  df-iseq 9558  df-iexp 9609  df-cj 9914  df-re 9915  df-im 9916  df-rsqrt 10069  df-abs 10070  df-dvds 10388  df-prm 10681

This theorem is referenced by:  nprm  10696  prmuz2  10703  dvdsprm  10709