ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isprm6 GIF version

Theorem isprm6 10733
Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 10732. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isprm6 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem isprm6
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 10719 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2 euclemma 10732 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
323expb 1140 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
43biimpd 142 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
54ralrimivva 2448 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
61, 5jca 300 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))))
7 simpl 107 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
8 eluz2nn 8790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
98adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
109nnzd 8601 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
11 iddvds 10416 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃𝑃)
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃𝑃)
13 nncn 8166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
149, 13syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
15 nncn 8166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
1615ad2antrl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
17 nnap0 8187 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 # 0)
1817ad2antrl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 # 0)
1914, 16, 18divcanap1d 7997 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) = 𝑃)
2012, 19breqtrrd 3831 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
2120adantr 270 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
22 simprr 499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧𝑃)
23 simprl 498 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
24 nndivdvds 10409 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
259, 23, 24syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
2622, 25mpbid 145 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ)
2726nnzd 8601 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
28 nnz 8503 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
2928ad2antrl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
3027, 29jca 300 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
31 oveq1 5570 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦))
3231breq2d 3817 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦)))
33 breq2 3809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃𝑥𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧)))
3433orbi1d 738 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃𝑥𝑃𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦)))
3532, 34imbi12d 232 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦))))
36 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
3736breq2d 3817 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧)))
38 breq2 3809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑃𝑦𝑃𝑧))
3938orbi2d 737 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)))
4037, 39imbi12d 232 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧))))
4135, 40rspc2va 2722 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)))
4230, 41sylan 277 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)))
4321, 42mpd 13 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧))
44 dvdsle 10452 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
4510, 26, 44syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
4614div1d 7987 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 / 1) = 𝑃)
4746breq1d 3815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧) ↔ 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
4845, 47sylibrd 167 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
49 nnrp 8876 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ+)
5049rpregt0d 8913 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
5150ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
52 1rp 8871 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
53 rpregt0 8880 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
5452, 53mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
55 nnrp 8876 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
569, 55syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
5756rpregt0d 8913 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃))
58 lediv2 8088 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
5951, 54, 57, 58syl3anc 1170 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
6048, 59sylibrd 167 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 ≤ 1))
61 nnle1eq1 8182 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
6261ad2antrl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
6360, 62sylibd 147 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 = 1))
64 nnnn0 8414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
6564ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
6665adantr 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑧 ∈ ℕ0)
67 nnnn0 8414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
689, 67syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
6968adantr 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑃 ∈ ℕ0)
70 simplrr 503 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑧𝑃)
71 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑃𝑧)
72 dvdseq 10456 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑧𝑃𝑃𝑧)) → 𝑧 = 𝑃)
7366, 69, 70, 71, 72syl22anc 1171 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑧 = 𝑃)
7473ex 113 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃𝑧𝑧 = 𝑃))
7563, 74orim12d 733 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
7675imp 122 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
7743, 76syldan 276 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
7877an32s 533 . . . . 5 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
7978expr 367 . . . 4 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
8079ralrimiva 2439 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
81 isprm2 10706 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
827, 80, 81sylanbrc 408 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → 𝑃 ∈ ℙ)
836, 82impbii 124 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353   class class class wbr 3805  cfv 4952  (class class class)co 5563  cc 7093  cr 7094  0cc0 7095  1c1 7096   · cmul 7100   < clt 7267  cle 7268   # cap 7800   / cdiv 7879  cn 8158  2c2 8208  0cn0 8407  cz 8484  cuz 8752  +crp 8867  cdvds 10403  cprime 10696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-1o 6085  df-2o 6086  df-er 6193  df-en 6309  df-sup 6491  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fzo 9282  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404  df-gcd 10546  df-prm 10697
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator