ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumrblem GIF version

Theorem isumrblem 10400
Description: Lemma for isumrb 10402. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isummo.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
isumrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
isumrblem ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem isumrblem
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addid2 7366 . . 3 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
21adantl 271 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
3 0cnd 7226 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
4 isumrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54adantr 270 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 eluzelz 8761 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
75, 6syl 14 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8 eleq1 2145 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝐴𝑁𝐴))
98ifbid 3387 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑁𝐴, 𝐵, 0))
109eleq1d 2151 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if(𝑁𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
11 isummo.dc . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
12 exmiddc 778 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
1311, 12syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
14 iftrue 3373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
1514adantl 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
16 isummo.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1715, 16eqeltrd 2159 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1817ex 113 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
19 iffalse 3376 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
20 0cn 7225 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
2119, 20syl6eqel 2173 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2221a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
2318, 22jaod 670 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
2423adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
2513, 24mpd 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2625ralrimiva 2439 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2710, 26, 4rspcdva 2715 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑁𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2827adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → if(𝑁𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
29 isummo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
309, 29fvmptg 5300 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑁𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑁) = if(𝑁𝐴, 𝐵, 0))
317, 28, 30syl2anc 403 . . 3 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) = if(𝑁𝐴, 𝐵, 0))
3231, 28eqeltrd 2159 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
33 elfzelz 9173 . . . 4 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
34 eleq1 2145 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐴𝑛𝐴))
3534ifbid 3387 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑛𝐴, 𝐵, 0))
3635eleq1d 2151 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if(𝑛𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
3726ad2antrr 472 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
38 elfzuz 9169 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
3938adantl 271 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4036, 37, 39rspcdva 2715 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
4135, 29fvmptg 5300 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ if(𝑛𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝐵, 0))
4233, 40, 41syl2an2 559 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝐵, 0))
43 uznfz 9248 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
4443con2i 590 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
4544adantl 271 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
46 ssel 3002 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑁) → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (ℤ𝑁)))
4746ad2antlr 473 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (ℤ𝑁)))
4845, 47mtod 622 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛𝐴)
4948iffalsed 3378 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛𝐴, 𝐵, 0) = 0)
5042, 49eqtrd 2115 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = 0)
51 eluzelz 8761 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
5226ad2antrr 472 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
53 simpr 108 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
5436, 52, 53rspcdva 2715 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑛𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
5551, 54, 41syl2an2 559 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝐵, 0))
5655, 54eqeltrd 2159 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
57 addcl 7212 . . 3 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑧) ∈ ℂ)
5857adantl 271 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑧) ∈ ℂ)
592, 3, 5, 32, 50, 56, 58iseqid 9615 1 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wss 2982  ifcif 3368  cmpt 3859  cres 4393  cfv 4952  (class class class)co 5563  cc 7093  0cc0 7095  1c1 7096   + caddc 7098  cmin 7398  cz 8484  cuz 8752  ...cfz 9157  seqcseq 9573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-fz 9158  df-fzo 9282  df-iseq 9574
This theorem is referenced by:  isumrb  10402
  Copyright terms: Public domain W3C validator