Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixxdisj GIF version

Theorem ixxdisj 9037
 Description: Split an interval into disjoint pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ixxssixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
ixxun.2 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧𝑧𝑈𝑦)})
ixxun.3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
Assertion
Ref Expression
ixxdisj ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐵𝑃𝐶)) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑂,𝑥   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑤)   𝑂(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxdisj
StepHypRef Expression
1 elin 3165 . . . 4 (𝑤 ∈ ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐵𝑃𝐶)) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)))
2 ixxssixx.1 . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
32elixx1 9031 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
433adant3 959 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
54biimpa 290 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵))
65simp3d 953 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝑆𝐵)
76adantrr 463 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶))) → 𝑤𝑆𝐵)
8 ixxun.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧𝑧𝑈𝑦)})
98elixx1 9031 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐵𝑇𝑤𝑤𝑈𝐶)))
1093adant1 957 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐵𝑇𝑤𝑤𝑈𝐶)))
1110biimpa 290 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐵𝑇𝑤𝑤𝑈𝐶))
1211simp2d 952 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐵𝑇𝑤)
13 simpl2 943 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1411simp1d 951 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
15 ixxun.3 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
1613, 14, 15syl2anc 403 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
1712, 16mpbid 145 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → ¬ 𝑤𝑆𝐵)
1817adantrl 462 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶))) → ¬ 𝑤𝑆𝐵)
197, 18pm2.65da 620 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)))
2019pm2.21d 582 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤 ∈ ∅))
211, 20syl5bi 150 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤 ∈ ∅))
2221ssrdv 3014 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐵𝑃𝐶)) ⊆ ∅)
23 ss0 3300 . 2 (((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐵𝑃𝐶)) ⊆ ∅ → ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐵𝑃𝐶)) = ∅)
2422, 23syl 14 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐵𝑃𝐶)) = ∅)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 920   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  {crab 2357   ∩ cin 2981   ⊆ wss 2982  ∅c0 3267   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   ↦ cmpt2 5565  ℝ*cxr 7249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7164  ax-resscn 7165 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2611  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7252  df-mnf 7253  df-xr 7254 This theorem is referenced by:  ioodisj  9126
 Copyright terms: Public domain W3C validator