ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixxss12 GIF version

Theorem ixxss12 8875
Description: Subset relationship for intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ixxssixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
ixxss12.2 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧𝑧𝑈𝑦)})
ixxss12.3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐶𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
ixxss12.4 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑈𝐷𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))
Assertion
Ref Expression
ixxss12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) → (𝐶𝑃𝐷) ⊆ (𝐴𝑂𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑂,𝑥   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧   𝑤,𝑊   𝑤,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑤)   𝑂(𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxss12
StepHypRef Expression
1 ixxss12.2 . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧𝑧𝑈𝑦)})
21elixx3g 8870 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶𝑇𝑤𝑤𝑈𝐷)))
32simplbi 263 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
43adantl 266 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
54simp3d 929 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
6 simplrl 495 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴𝑊𝐶)
72simprbi 264 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → (𝐶𝑇𝑤𝑤𝑈𝐷))
87adantl 266 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝐶𝑇𝑤𝑤𝑈𝐷))
98simpld 109 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐶𝑇𝑤)
10 simplll 493 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
114simp1d 927 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12 ixxss12.3 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐶𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
1310, 11, 5, 12syl3anc 1146 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → ((𝐴𝑊𝐶𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
146, 9, 13mp2and 417 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴𝑅𝑤)
158simprd 111 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤𝑈𝐷)
16 simplrr 496 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐷𝑋𝐵)
174simp2d 928 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
18 simpllr 494 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19 ixxss12.4 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑈𝐷𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))
205, 17, 18, 19syl3anc 1146 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → ((𝑤𝑈𝐷𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))
2115, 16, 20mp2and 417 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤𝑆𝐵)
22 ixxssixx.1 . . . . . 6 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
2322elixx1 8866 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
2423ad2antrr 465 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
255, 14, 21, 24mpbir3and 1098 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
2625ex 112 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)))
2726ssrdv 2978 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶𝐷𝑋𝐵)) → (𝐶𝑃𝐷) ⊆ (𝐴𝑂𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  {crab 2327  wss 2944   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  cmpt2 5541  *cxr 7117
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122
This theorem is referenced by:  iccss  8910  iccssioo  8911  icossico  8912  iccss2  8913  iccssico  8914  iocssioo  8932  icossioo  8933  ioossioo  8934
  Copyright terms: Public domain W3C validator