ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixxssixx GIF version

Theorem ixxssixx 8871
Description: An interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ixxssixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
ixx.2 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧𝑧𝑈𝑦)})
ixx.3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑅𝑤𝐴𝑇𝑤))
ixx.4 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝑈𝐵))
Assertion
Ref Expression
ixxssixx (𝐴𝑂𝐵) ⊆ (𝐴𝑃𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑂,𝑥   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑤)   𝑂(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxssixx
StepHypRef Expression
1 ixxssixx.1 . . . 4 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
21elmpt2cl 5725 . . 3 (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
3 simp1 915 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ*)
43a1i 9 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ*))
5 simpl 106 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 3simpa 912 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤))
7 ixx.3 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑅𝑤𝐴𝑇𝑤))
87expimpd 349 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤) → 𝐴𝑇𝑤))
95, 6, 8syl2im 38 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) → 𝐴𝑇𝑤))
10 simpr 107 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 3simpb 913 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) → (𝑤 ∈ ℝ*𝑤𝑆𝐵))
12 ixx.4 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝑈𝐵))
1312ancoms 259 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑤𝑆𝐵𝑤𝑈𝐵))
1413expimpd 349 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝑤 ∈ ℝ*𝑤𝑆𝐵) → 𝑤𝑈𝐵))
1510, 11, 14syl2im 38 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) → 𝑤𝑈𝐵))
164, 9, 153jcad 1096 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵) → (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑇𝑤𝑤𝑈𝐵)))
171elixx1 8866 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐵)))
18 ixx.2 . . . . 5 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧𝑧𝑈𝑦)})
1918elixx1 8866 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑇𝑤𝑤𝑈𝐵)))
2016, 17, 193imtr4d 196 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)))
212, 20mpcom 36 . 2 (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵))
2221ssriv 2976 1 (𝐴𝑂𝐵) ⊆ (𝐴𝑃𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  {crab 2327  wss 2944   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  cmpt2 5541  *cxr 7117
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122
This theorem is referenced by:  ioossicc  8928  icossicc  8929  iocssicc  8930  ioossico  8931
  Copyright terms: Public domain W3C validator