ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixxval GIF version

Theorem ixxval 8865
Description: Value of the interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
ixxval ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxval
StepHypRef Expression
1 breq1 3794 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑅𝑧𝐴𝑅𝑧))
21anbi1d 446 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦) ↔ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)))
32rabbidv 2566 . 2 (𝑥 = 𝐴 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
4 breq2 3795 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (𝑧𝑆𝑦𝑧𝑆𝐵))
54anbi2d 445 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦) ↔ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)))
65rabbidv 2566 . 2 (𝑦 = 𝐵 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)})
7 ixx.1 . 2 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
8 xrex 8856 . . 3 * ∈ V
98rabex 3928 . 2 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)} ∈ V
103, 6, 7, 9ovmpt2 5663 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  {crab 2327   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  cmpt2 5541  *cxr 7117
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122
This theorem is referenced by:  elixx1  8866  iooval  8877  iocval  8887  icoval  8888  iccval  8889
  Copyright terms: Public domain W3C validator