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Theorem lble 8162
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
lble ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝐴𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑦,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem lble
StepHypRef Expression
1 lbreu 8160 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
2 nfcv 2223 . . . . . . 7 𝑥𝑆
3 nfriota1 5527 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
4 nfcv 2223 . . . . . . . 8 𝑥
5 nfcv 2223 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
63, 4, 5nfbr 3849 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦
72, 6nfralxy 2407 . . . . . 6 𝑥𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦
8 eqid 2083 . . . . . 6 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
9 nfra1 2402 . . . . . . . . 9 𝑦𝑦𝑆 𝑥𝑦
10 nfcv 2223 . . . . . . . . 9 𝑦𝑆
119, 10nfriota 5529 . . . . . . . 8 𝑦(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
1211nfeq2 2234 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
13 breq1 3808 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
1412, 13ralbid 2371 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
157, 8, 14riotaprop 5543 . . . . 5 (∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
161, 15syl 14 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦))
1716simprd 112 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦)
18 nfcv 2223 . . . . 5 𝑦
19 nfcv 2223 . . . . 5 𝑦𝐴
2011, 18, 19nfbr 3849 . . . 4 𝑦(𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴
21 breq2 3809 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦 ↔ (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴))
2220, 21rspc 2704 . . 3 (𝐴𝑆 → (∀𝑦𝑆 (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑦 → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴))
2317, 22mpan9 275 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴)
24233impa 1134 1 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝐴𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  ∃!wreu 2355  wss 2982   class class class wbr 3805  crio 5519  cr 7112  cle 7286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-apti 7223
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-cnv 4399  df-iota 4917  df-riota 5520  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291
This theorem is referenced by:  lbinf  8163  lbinfle  8165
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