ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lbreu GIF version

Theorem lbreu 8160
Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
lbreu ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑆

Proof of Theorem lbreu
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3809 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑥𝑤))
21rspcv 2706 . . . . . . . 8 (𝑤𝑆 → (∀𝑦𝑆 𝑥𝑦𝑥𝑤))
3 breq2 3809 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑤𝑦𝑤𝑥))
43rspcv 2706 . . . . . . . 8 (𝑥𝑆 → (∀𝑦𝑆 𝑤𝑦𝑤𝑥))
52, 4im2anan9r 564 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → (𝑥𝑤𝑤𝑥)))
6 ssel 3002 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ⊆ ℝ → (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℝ))
7 ssel 3002 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ⊆ ℝ → (𝑤𝑆𝑤 ∈ ℝ))
86, 7anim12d 328 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)))
98impcom 123 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ))
10 letri3 7329 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝑤 ↔ (𝑥𝑤𝑤𝑥)))
119, 10syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) → (𝑥 = 𝑤 ↔ (𝑥𝑤𝑤𝑥)))
1211exbiri 374 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑤𝑤𝑥) → 𝑥 = 𝑤)))
1312com23 77 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((𝑥𝑤𝑤𝑥) → (𝑆 ⊆ ℝ → 𝑥 = 𝑤)))
145, 13syld 44 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → (𝑆 ⊆ ℝ → 𝑥 = 𝑤)))
1514com3r 78 . . . . 5 (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑆𝑤𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤)))
1615ralrimivv 2447 . . . 4 (𝑆 ⊆ ℝ → ∀𝑥𝑆𝑤𝑆 ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤))
1716anim2i 334 . . 3 ((∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝑆 ⊆ ℝ) → (∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝑆𝑤𝑆 ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤)))
1817ancoms 264 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝑆𝑤𝑆 ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤)))
19 breq1 3808 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑤𝑦))
2019ralbidv 2373 . . 3 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦))
2120reu4 2795 . 2 (∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 ↔ (∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑥𝑆𝑤𝑆 ((∀𝑦𝑆 𝑥𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑤𝑦) → 𝑥 = 𝑤)))
2218, 21sylibr 132 1 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ∃!𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  ∃!wreu 2355  wss 2982   class class class wbr 3805  cr 7112  cle 7286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-apti 7223
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-cnv 4399  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291
This theorem is referenced by:  lbcl  8161  lble  8162
  Copyright terms: Public domain W3C validator