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Theorem leexp1a 9474
Description: Weak mantissa ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
leexp1a (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁))

Proof of Theorem leexp1a
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
2 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐵𝑗) = (𝐵↑0))
31, 2breq12d 3804 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ↔ (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0)))
43imbi2d 223 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))))
5 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
6 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
75, 6breq12d 3804 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ↔ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)))
87imbi2d 223 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))))
9 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑗) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
119, 10breq12d 3804 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1))))
1211imbi2d 223 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
13 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
14 oveq2 5547 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑁))
1513, 14breq12d 3804 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ↔ (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁)))
1615imbi2d 223 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁))))
17 recn 7071 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18 recn 7071 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
19 exp0 9423 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2019adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1)
21 1le1 7636 . . . . . . . . 9 1 ≤ 1
2220, 21syl6eqbr 3828 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) ≤ 1)
23 exp0 9423 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
2423adantl 266 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
2522, 24breqtrrd 3817 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
2617, 18, 25syl2an 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
2726adantr 265 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
28 simpll 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
29 reexpcl 9436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
3028, 29sylan 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
31 simplll 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
32 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
33 simplrl 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
34 expge0 9455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
36 simplr 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
37 reexpcl 9436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
3836, 37sylan 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
3930, 35, 38jca31 296 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑘)) ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ))
40 simpl 106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
41 simpl 106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ≤ 𝐴𝐴𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
4240, 41anim12i 325 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4342adantr 265 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
44 simpllr 494 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
4539, 43, 44jca32 297 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑘)) ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
4645adantr 265 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑘)) ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
47 simpr 107 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
48 simplrr 496 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴𝐵)
4948adantr 265 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → 𝐴𝐵)
5047, 49jca 294 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ∧ 𝐴𝐵))
51 lemul12a 7902 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑘)) ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐵𝑘) · 𝐵)))
5246, 50, 51sylc 60 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((𝐴𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐵𝑘) · 𝐵))
53 expp1 9426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5417, 53sylan 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5554adantlr 454 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5655adantlr 454 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5756adantr 265 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
58 expp1 9426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
5918, 58sylan 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
6059adantll 453 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
6160adantlr 454 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
6261adantr 265 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
6352, 57, 623brtr4d 3821 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))
6463ex 112 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1))))
6564expcom 113 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → ((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
6665a2d 26 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
674, 8, 12, 16, 27, 66nn0ind 8410 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁)))
6867exp4c 354 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴𝐵) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁)))))
6968com3l 79 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 ≤ 𝐴𝐴𝐵) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁)))))
70693imp1 1128 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  cc 6944  cr 6945  0cc0 6946  1c1 6947   + caddc 6949   · cmul 6951  cle 7119  0cn0 8238  cexp 9418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-frec 6008  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-iseq 9375  df-iexp 9419
This theorem is referenced by:  expubnd  9476  facubnd  9612
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