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Theorem leexp2r 10302
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by Paul Chapman, 14-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2r (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐴𝑀))

Proof of Theorem leexp2r
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5750 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑀 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑀))
21breq1d 3909 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑀 → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑀) ↔ (𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑀)))
32imbi2d 229 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑀 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑀)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑀))))
4 oveq2 5750 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
54breq1d 3909 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑀) ↔ (𝐴𝑘) ≤ (𝐴𝑀)))
65imbi2d 229 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑀)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐴𝑀))))
7 oveq2 5750 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
87breq1d 3909 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑀) ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐴𝑀)))
98imbi2d 229 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑀)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐴𝑀))))
10 oveq2 5750 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
1110breq1d 3909 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑀) ↔ (𝐴𝑁) ≤ (𝐴𝑀)))
1211imbi2d 229 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐴𝑀)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐴𝑀))))
13 reexpcl 10265 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
1413adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
1514leidd 8244 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑀))
1615a1i 9 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑀)))
17 simprll 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 1red 7749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → 1 ∈ ℝ)
19 simprlr 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
20 simpl 108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
21 eluznn0 9349 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2219, 20, 21syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23 reexpcl 10265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2417, 22, 23syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
25 simprrl 513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → 0 ≤ 𝐴)
26 expge0 10284 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
2717, 22, 25, 26syl3anc 1201 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
28 simprrr 514 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → 𝐴 ≤ 1)
2917, 18, 24, 27, 28lemul2ad 8662 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → ((𝐴𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐴𝑘) · 1))
3017recnd 7762 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
31 expp1 10255 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
3230, 22, 31syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
3324recnd 7762 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3433mulid1d 7751 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → ((𝐴𝑘) · 1) = (𝐴𝑘))
3534eqcomd 2123 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → (𝐴𝑘) = ((𝐴𝑘) · 1))
3629, 32, 353brtr4d 3930 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐴𝑘))
37 peano2nn0 8975 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
3822, 37syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
39 reexpcl 10265 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
4017, 38, 39syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
4113ad2antrl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
42 letr 7815 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℝ) → (((𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐴𝑘) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐴𝑀)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐴𝑀)))
4340, 24, 41, 42syl3anc 1201 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → (((𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐴𝑘) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐴𝑀)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐴𝑀)))
4436, 43mpand 425 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))) → ((𝐴𝑘) ≤ (𝐴𝑀) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐴𝑀)))
4544ex 114 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → ((𝐴𝑘) ≤ (𝐴𝑀) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐴𝑀))))
4645a2d 26 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐴𝑀)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐴𝑀))))
473, 6, 9, 12, 16, 46uzind4 9339 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐴𝑀)))
4847expd 256 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐴𝑀))))
4948com12 30 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐴𝑀))))
50493impia 1163 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐴𝑀)))
5150imp 123 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐴𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593  cle 7769  0cn0 8935  cz 9012  cuz 9282  cexp 10247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-seqfrec 10174  df-exp 10248
This theorem is referenced by:  exple1  10304  leexp2rd  10409
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