ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lelttr GIF version

Theorem lelttr 7820
Description: Transitive law. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 23-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lelttr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttr
StepHypRef Expression
1 simprl 505 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐴𝐵)
2 simpl1 969 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 simpl2 970 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 lenlt 7808 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
52, 3, 4syl2anc 408 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
61, 5mpbid 146 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
76pm2.21d 593 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
8 idd 21 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
9 simprr 506 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
10 simpl3 971 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
11 axltwlin 7800 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
123, 10, 2, 11syl3anc 1201 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
139, 12mpd 13 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
147, 8, 13mpjaod 692 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
1514ex 114 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 682  w3a 947  wcel 1465   class class class wbr 3899  cr 7587   < clt 7768  cle 7769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltwlin 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774
This theorem is referenced by:  lelttri  7837  lelttrd  7855  letrp1  8574  ltmul12a  8586  bndndx  8944  uzind  9130  fnn0ind  9135  elfzo0z  9929  fzofzim  9933  elfzodifsumelfzo  9946  flqge  10023  modfzo0difsn  10136  expnlbnd2  10385  caubnd2  10857  mulcn2  11049  cn1lem  11051  climsqz  11072  climsqz2  11073  climcvg1nlem  11086  ltoddhalfle  11517  algcvgblem  11657  metss2lem  12593
  Copyright terms: Public domain W3C validator