ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lelttrdi GIF version

Theorem lelttrdi 7667
Description: If a number is less than another number, and the other number is less than or equal to a third number, the first number is less than the third number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lelttrdi.r (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
lelttrdi.l (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
lelttrdi (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttrdi
StepHypRef Expression
1 lelttrdi.r . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
21simp1d 951 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 270 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
41simp2d 952 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 270 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
61simp3d 953 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
76adantr 270 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
8 simpr 108 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
9 lelttrdi.l . . . 4 (𝜑𝐵𝐶)
109adantr 270 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐶)
113, 5, 7, 8, 10ltletrd 7664 . 2 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
1211ex 113 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 920  wcel 1434   class class class wbr 3805  cr 7112   < clt 7285  cle 7286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-pre-ltwlin 7221
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-cnv 4399  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291
This theorem is referenced by:  subfzo0  9398
  Copyright terms: Public domain W3C validator