ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lenegcon1 GIF version

Theorem lenegcon1 7505
Description: Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
lenegcon1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵𝐴))

Proof of Theorem lenegcon1
StepHypRef Expression
1 renegcl 7305 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 leneg 7504 . . 3 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵 ≤ --𝐴))
31, 2sylan 271 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵 ≤ --𝐴))
4 recn 7042 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
54negnegd 7346 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
65breq2d 3801 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐵 ≤ --𝐴 ↔ -𝐵𝐴))
76adantr 265 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ --𝐴 ↔ -𝐵𝐴))
83, 7bitrd 181 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wcel 1407   class class class wbr 3789  cr 6916  cle 7090  -cneg 7216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-addass 7014  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-cnre 7023  ax-pre-ltadd 7028
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-br 3790  df-opab 3844  df-id 4055  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-sub 7217  df-neg 7218
This theorem is referenced by:  lenegcon1i  7536  lenegcon1d  7562  ublbneg  8615  absle  9879  lenegsq  9885  abs2difabs  9898
  Copyright terms: Public domain W3C validator