ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltadd2dd GIF version

Theorem ltadd2dd 7663
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltadd2d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltadd2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd2d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltadd2dd (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 ltadd2d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltadd2d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltadd2d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4ltadd2d 7662 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
61, 5mpbid 145 1 (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5564  cr 7112   + caddc 7116   < clt 7285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-addcom 7208  ax-addass 7210  ax-i2m1 7213  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-pre-ltadd 7224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-iota 4917  df-fv 4960  df-ov 5567  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-ltxr 7290
This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  9174  rebtwn2zlemstep  9409  rebtwn2z  9411  2tnp1ge0ge0  9453  cvg1nlemcau  10089  resqrexlemdec  10116
  Copyright terms: Public domain W3C validator