ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltadd2i GIF version

Theorem ltadd2i 7591
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Hypotheses
Ref Expression
ltadd2i.1 𝐴 ∈ ℝ
ltadd2i.2 𝐵 ∈ ℝ
ltadd2i.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
ltadd2i (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2i
StepHypRef Expression
1 ltadd2i.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 ltadd2i.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 ltadd2i.3 . 2 𝐶 ∈ ℝ
4 ltadd2 7590 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
51, 2, 3, 4mp3an 1269 1 (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 103  wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543  cr 7042   + caddc 7046   < clt 7215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-i2m1 7143  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-ltxr 7220
This theorem is referenced by:  numlt  8582
  Copyright terms: Public domain W3C validator