ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddnq GIF version

Theorem ltaddnq 6659
Description: The sum of two fractions is greater than one of them. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltaddnq ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵))

Proof of Theorem ltaddnq
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2nq 6658 . . . . . . 7 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
2 1nq 6618 . . . . . . . 8 1QQ
3 addclnq 6627 . . . . . . . . 9 ((1QQ ∧ 1QQ) → (1Q +Q 1Q) ∈ Q)
42, 2, 3mp2an 417 . . . . . . . 8 (1Q +Q 1Q) ∈ Q
5 ltmnqg 6653 . . . . . . . 8 ((1QQ ∧ (1Q +Q 1Q) ∈ Q𝐵Q) → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q))))
62, 4, 5mp3an12 1259 . . . . . . 7 (𝐵Q → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q))))
71, 6mpbii 146 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)))
8 mulidnq 6641 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q 1Q) = 𝐵)
9 distrnqg 6639 . . . . . . . 8 ((𝐵Q ∧ 1QQ ∧ 1QQ) → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)))
102, 2, 9mp3an23 1261 . . . . . . 7 (𝐵Q → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)))
118, 8oveq12d 5561 . . . . . . 7 (𝐵Q → ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)) = (𝐵 +Q 𝐵))
1210, 11eqtrd 2114 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = (𝐵 +Q 𝐵))
137, 8, 123brtr3d 3822 . . . . 5 (𝐵Q𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵))
1413adantl 271 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵))
15 simpr 108 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐵Q)
16 addclnq 6627 . . . . . . 7 ((𝐵Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
1716anidms 389 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
1817adantl 271 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
19 simpl 107 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴Q)
20 ltanqg 6652 . . . . 5 ((𝐵Q ∧ (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q𝐴Q) → (𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵))))
2115, 18, 19, 20syl3anc 1170 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵))))
2214, 21mpbid 145 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵)))
23 addcomnqg 6633 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
24 addcomnqg 6633 . . . . 5 ((𝑟Q𝑠Q) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
2524adantl 271 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝑟Q𝑠Q)) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
26 addassnqg 6634 . . . . 5 ((𝑟Q𝑠Q𝑡Q) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
2726adantl 271 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝑟Q𝑠Q𝑡Q)) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
2819, 15, 15, 25, 27caov12d 5713 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵)) = (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵)))
2922, 23, 283brtr3d 3822 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵)))
30 addclnq 6627 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)
31 ltanqg 6652 . . 3 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q𝐵Q) → (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵) ↔ (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵))))
3219, 30, 15, 31syl3anc 1170 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵) ↔ (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵))))
3329, 32mpbird 165 1 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543  Qcnq 6532  1Qc1q 6533   +Q cplq 6534   ·Q cmq 6535   <Q cltq 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-ltnqqs 6605
This theorem is referenced by:  ltexnqq  6660  nsmallnqq  6664  subhalfnqq  6666  ltbtwnnqq  6667  prarloclemarch2  6671  ltexprlemm  6852  ltexprlemopl  6853  addcanprleml  6866  addcanprlemu  6867  recexprlemm  6876  cauappcvgprlemm  6897  cauappcvgprlemopl  6898  cauappcvgprlem2  6912  caucvgprlemnkj  6918  caucvgprlemnbj  6919  caucvgprlemm  6920  caucvgprlemopl  6921  caucvgprprlemnjltk  6943  caucvgprprlemopl  6949
  Copyright terms: Public domain W3C validator