ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddnq GIF version

Theorem ltaddnq 6533
Description: The sum of two fractions is greater than one of them. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltaddnq ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵))

Proof of Theorem ltaddnq
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2nq 6532 . . . . . . 7 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
2 1nq 6492 . . . . . . . 8 1QQ
3 addclnq 6501 . . . . . . . . 9 ((1QQ ∧ 1QQ) → (1Q +Q 1Q) ∈ Q)
42, 2, 3mp2an 410 . . . . . . . 8 (1Q +Q 1Q) ∈ Q
5 ltmnqg 6527 . . . . . . . 8 ((1QQ ∧ (1Q +Q 1Q) ∈ Q𝐵Q) → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q))))
62, 4, 5mp3an12 1231 . . . . . . 7 (𝐵Q → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q))))
71, 6mpbii 140 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)))
8 mulidnq 6515 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q 1Q) = 𝐵)
9 distrnqg 6513 . . . . . . . 8 ((𝐵Q ∧ 1QQ ∧ 1QQ) → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)))
102, 2, 9mp3an23 1233 . . . . . . 7 (𝐵Q → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)))
118, 8oveq12d 5555 . . . . . . 7 (𝐵Q → ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)) = (𝐵 +Q 𝐵))
1210, 11eqtrd 2086 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = (𝐵 +Q 𝐵))
137, 8, 123brtr3d 3818 . . . . 5 (𝐵Q𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵))
1413adantl 266 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵))
15 simpr 107 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐵Q)
16 addclnq 6501 . . . . . . 7 ((𝐵Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
1716anidms 383 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
1817adantl 266 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
19 simpl 106 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴Q)
20 ltanqg 6526 . . . . 5 ((𝐵Q ∧ (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q𝐴Q) → (𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵))))
2115, 18, 19, 20syl3anc 1144 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵))))
2214, 21mpbid 139 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵)))
23 addcomnqg 6507 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
24 addcomnqg 6507 . . . . 5 ((𝑟Q𝑠Q) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
2524adantl 266 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝑟Q𝑠Q)) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
26 addassnqg 6508 . . . . 5 ((𝑟Q𝑠Q𝑡Q) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
2726adantl 266 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝑟Q𝑠Q𝑡Q)) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
2819, 15, 15, 25, 27caov12d 5707 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵)) = (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵)))
2922, 23, 283brtr3d 3818 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵)))
30 addclnq 6501 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)
31 ltanqg 6526 . . 3 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q𝐵Q) → (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵) ↔ (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵))))
3219, 30, 15, 31syl3anc 1144 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵) ↔ (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵))))
3329, 32mpbird 160 1 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 894   = wceq 1257  wcel 1407   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  Qcnq 6406  1Qc1q 6407   +Q cplq 6408   ·Q cmq 6409   <Q cltq 6411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-ltnqqs 6479
This theorem is referenced by:  ltexnqq  6534  nsmallnqq  6538  subhalfnqq  6540  ltbtwnnqq  6541  prarloclemarch2  6545  ltexprlemm  6726  ltexprlemopl  6727  addcanprleml  6740  addcanprlemu  6741  recexprlemm  6750  cauappcvgprlemm  6771  cauappcvgprlemopl  6772  cauappcvgprlem2  6786  caucvgprlemnkj  6792  caucvgprlemnbj  6793  caucvgprlemm  6794  caucvgprlemopl  6795  caucvgprprlemnjltk  6817  caucvgprprlemopl  6823
  Copyright terms: Public domain W3C validator