ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddpos2 GIF version

Theorem ltaddpos2 7522
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 8-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltaddpos2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴𝐵 < (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem ltaddpos2
StepHypRef Expression
1 ltaddpos 7521 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
2 recn 7072 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 recn 7072 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4 addcom 7211 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
52, 3, 4syl2an 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
65breq2d 3804 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
71, 6bitr4d 184 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴𝐵 < (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  cc 6945  cr 6946  0cc0 6947   + caddc 6950   < clt 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-xp 4379  df-iota 4895  df-fv 4938  df-ov 5543  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-ltxr 7124
This theorem is referenced by:  ltaddpos2d  7595  nn1gt1  8023
  Copyright terms: Public domain W3C validator