Theorem ltaddsub 7596

Description: 'Less than' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)))

Proof of Theorem ltaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 939	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simp3 941	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		simp2 940	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	resubcld 7541	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
5		ltadd1 7589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶 − 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵)))
6	1, 4, 3, 5	syl3anc 1170	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶 − 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵)))
7	2	recnd 7198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
8	3	recnd 7198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	npcand 7479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐶)
10	9	breq2d 3799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
11	6, 10	bitr2d 187	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ 𝐴 < (𝐶 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   ∧ w3a 920   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537  ℝcr 7031   + caddc 7035   < clt 7204   − cmin 7335

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138  ax-pre-ltadd 7143

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-ltxr 7209  df-sub 7337  df-neg 7338

This theorem is referenced by:  ltaddsub2  7597  ltsub13  7603  ltsub2  7619  ltaddsubi  7666  ltaddsubd  7701  iooshf  9040