ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddsub GIF version

Theorem ltaddsub 7475
Description: 'Less than' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltaddsub ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶𝐵)))

Proof of Theorem ltaddsub
StepHypRef Expression
1 simp1 913 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simp3 915 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
3 simp2 914 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
42, 3resubcld 7421 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
5 ltadd1 7468 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < ((𝐶𝐵) + 𝐵)))
61, 4, 3, 5syl3anc 1144 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐶𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < ((𝐶𝐵) + 𝐵)))
72recnd 7083 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
83recnd 7083 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
97, 8npcand 7359 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) + 𝐵) = 𝐶)
109breq2d 3801 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < ((𝐶𝐵) + 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
116, 10bitr2d 182 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 102  w3a 894  wcel 1407   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  cr 6916   + caddc 6920   < clt 7089  cmin 7215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-addass 7014  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-cnre 7023  ax-pre-ltadd 7028
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-br 3790  df-opab 3844  df-id 4055  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-ltxr 7094  df-sub 7217  df-neg 7218
This theorem is referenced by:  ltaddsub2  7476  ltsub13  7482  ltsub2  7498  ltaddsubi  7545  ltaddsubd  7580  iooshf  8892
  Copyright terms: Public domain W3C validator