Theorem ltap 7884

Description: 'Less than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltap	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 # 𝐴)

Proof of Theorem ltap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 941	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
2	1	olcd 686	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
3		simp2 940	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		simp1 939	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		reaplt 7841	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 # 𝐴 ↔ (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
6	3, 4, 5	syl2anc 403	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 # 𝐴 ↔ (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
7	2, 6	mpbird 165	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 # 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   ∨ wo 662   ∧ w3a 920   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3806  ℝcr 7128   < clt 7301   # cap 7834

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3994  ax-un 4218  ax-setind 4310  ax-cnex 7215  ax-resscn 7216  ax-1cn 7217  ax-1re 7218  ax-icn 7219  ax-addcl 7220  ax-addrcl 7221  ax-mulcl 7222  ax-mulrcl 7223  ax-addcom 7224  ax-mulcom 7225  ax-addass 7226  ax-mulass 7227  ax-distr 7228  ax-i2m1 7229  ax-0lt1 7230  ax-1rid 7231  ax-0id 7232  ax-rnegex 7233  ax-precex 7234  ax-cnre 7235  ax-pre-ltirr 7236  ax-pre-lttrn 7238  ax-pre-apti 7239  ax-pre-ltadd 7240  ax-pre-mulgt0 7241

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4078  df-xp 4400  df-rel 4401  df-cnv 4402  df-co 4403  df-dm 4404  df-iota 4920  df-fun 4957  df-fv 4963  df-riota 5525  df-ov 5572  df-oprab 5573  df-mpt2 5574  df-pnf 7303  df-mnf 7304  df-ltxr 7306  df-sub 7434  df-neg 7435  df-reap 7828  df-ap 7835

This theorem is referenced by:  gtapii  7885  ltapi  7887  gtapd  7888