ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaprg GIF version

Theorem ltaprg 6860
Description: Ordering property of addition. Proposition 9-3.5(v) of [Gleason] p. 123. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltaprg ((𝐴P𝐵P𝐶P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

Proof of Theorem ltaprg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltaprlem 6859 . . 3 (𝐶P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
213ad2ant3 962 . 2 ((𝐴P𝐵P𝐶P) → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
3 ltexpri 6854 . . . . 5 ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → ∃𝑥P ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))
43adantl 271 . . . 4 (((𝐴P𝐵P𝐶P) ∧ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)) → ∃𝑥P ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))
5 simpl1 942 . . . . . . 7 (((𝐴P𝐵P𝐶P) ∧ (𝑥P ∧ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))) → 𝐴P)
6 simprl 498 . . . . . . 7 (((𝐴P𝐵P𝐶P) ∧ (𝑥P ∧ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))) → 𝑥P)
7 ltaddpr 6838 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑥P) → 𝐴<P (𝐴 +P 𝑥))
85, 6, 7syl2anc 403 . . . . . 6 (((𝐴P𝐵P𝐶P) ∧ (𝑥P ∧ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))) → 𝐴<P (𝐴 +P 𝑥))
9 addassprg 6820 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶P𝐴P𝑥P) → ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥)))
1093com12 1143 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝐶P𝑥P) → ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥)))
11103expa 1139 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝐶P) ∧ 𝑥P) → ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥)))
1211adantrr 463 . . . . . . . . 9 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑥P ∧ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))) → ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥)))
13 simprr 499 . . . . . . . . 9 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑥P ∧ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))) → ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))
1412, 13eqtr3d 2116 . . . . . . . 8 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑥P ∧ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))) → (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥)) = (𝐶 +P 𝐵))
15143adantl2 1096 . . . . . . 7 (((𝐴P𝐵P𝐶P) ∧ (𝑥P ∧ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))) → (𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥)) = (𝐶 +P 𝐵))
16 simpl3 944 . . . . . . . 8 (((𝐴P𝐵P𝐶P) ∧ (𝑥P ∧ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))) → 𝐶P)
17 addclpr 6778 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑥P) → (𝐴 +P 𝑥) ∈ P)
185, 6, 17syl2anc 403 . . . . . . . 8 (((𝐴P𝐵P𝐶P) ∧ (𝑥P ∧ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))) → (𝐴 +P 𝑥) ∈ P)
19 simpl2 943 . . . . . . . 8 (((𝐴P𝐵P𝐶P) ∧ (𝑥P ∧ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))) → 𝐵P)
20 addcanprg 6857 . . . . . . . 8 ((𝐶P ∧ (𝐴 +P 𝑥) ∈ P𝐵P) → ((𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥)) = (𝐶 +P 𝐵) → (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
2116, 18, 19, 20syl3anc 1170 . . . . . . 7 (((𝐴P𝐵P𝐶P) ∧ (𝑥P ∧ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))) → ((𝐶 +P (𝐴 +P 𝑥)) = (𝐶 +P 𝐵) → (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
2215, 21mpd 13 . . . . . 6 (((𝐴P𝐵P𝐶P) ∧ (𝑥P ∧ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))) → (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
238, 22breqtrd 3811 . . . . 5 (((𝐴P𝐵P𝐶P) ∧ (𝑥P ∧ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))) → 𝐴<P 𝐵)
2423adantlr 461 . . . 4 ((((𝐴P𝐵P𝐶P) ∧ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)) ∧ (𝑥P ∧ ((𝐶 +P 𝐴) +P 𝑥) = (𝐶 +P 𝐵))) → 𝐴<P 𝐵)
254, 24rexlimddv 2482 . . 3 (((𝐴P𝐵P𝐶P) ∧ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)) → 𝐴<P 𝐵)
2625ex 113 . 2 ((𝐴P𝐵P𝐶P) → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → 𝐴<P 𝐵))
272, 26impbid 127 1 ((𝐴P𝐵P𝐶P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wrex 2350   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537  Pcnp 6532   +P cpp 6534  <P cltp 6536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-eprel 4046  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-1o 6059  df-2o 6060  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-pli 6546  df-mi 6547  df-lti 6548  df-plpq 6585  df-mpq 6586  df-enq 6588  df-nqqs 6589  df-plqqs 6590  df-mqqs 6591  df-1nqqs 6592  df-rq 6593  df-ltnqqs 6594  df-enq0 6665  df-nq0 6666  df-0nq0 6667  df-plq0 6668  df-mq0 6669  df-inp 6707  df-iplp 6709  df-iltp 6711
This theorem is referenced by:  prplnqu  6861  addextpr  6862  caucvgprlemcanl  6885  caucvgprprlemnkltj  6930  caucvgprprlemnbj  6934  caucvgprprlemmu  6936  caucvgprprlemloc  6944  caucvgprprlemexbt  6947  caucvgprprlemexb  6948  caucvgprprlemaddq  6949  caucvgprprlem1  6950  caucvgprprlem2  6951  ltsrprg  6975  gt0srpr  6976  lttrsr  6990  ltsosr  6992  ltasrg  6998  prsrlt  7014
  Copyright terms: Public domain W3C validator