Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltasrg GIF version

Theorem ltasrg 6698
 Description: Ordering property of addition. (Contributed by NM, 10-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
ltasrg ((A R B R 𝐶 R) → (A <R B ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B)))

Proof of Theorem ltasrg
Dummy variables x y z w v u 𝑠 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6655 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
2 oveq1 5462 . . . . 5 ([⟨v, u⟩] ~R = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ))
3 oveq1 5462 . . . . 5 ([⟨v, u⟩] ~R = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ))
42, 3breq12d 3768 . . . 4 ([⟨v, u⟩] ~R = 𝐶 → (([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R )))
54bibi2d 221 . . 3 ([⟨v, u⟩] ~R = 𝐶 → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R )) ↔ ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ))))
6 breq1 3758 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~RA <R [⟨z, w⟩] ~R ))
7 oveq2 5463 . . . . 5 ([⟨x, y⟩] ~R = A → (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) = (𝐶 +R A))
87breq1d 3765 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ((𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R )))
96, 8bibi12d 224 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~R = A → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R )) ↔ (A <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ))))
10 breq2 3759 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (A <R [⟨z, w⟩] ~RA <R B))
11 oveq2 5463 . . . . 5 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ) = (𝐶 +R B))
1211breq2d 3767 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ((𝐶 +R A) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B)))
1310, 12bibi12d 224 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ((A <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R )) ↔ (A <R B ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B))))
14 simp2l 929 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → x P)
15 simp3r 932 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → w P)
16 addclpr 6520 . . . . . . 7 ((x P w P) → (x +P w) P)
1714, 15, 16syl2anc 391 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (x +P w) P)
18 simp2r 930 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → y P)
19 simp3l 931 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → z P)
20 addclpr 6520 . . . . . . 7 ((y P z P) → (y +P z) P)
2118, 19, 20syl2anc 391 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (y +P z) P)
22 addclpr 6520 . . . . . . 7 ((v P u P) → (v +P u) P)
23223ad2ant1 924 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (v +P u) P)
24 ltaprg 6592 . . . . . 6 (((x +P w) P (y +P z) P (v +P u) P) → ((x +P w)<P (y +P z) ↔ ((v +P u) +P (x +P w))<P ((v +P u) +P (y +P z))))
2517, 21, 23, 24syl3anc 1134 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((x +P w)<P (y +P z) ↔ ((v +P u) +P (x +P w))<P ((v +P u) +P (y +P z))))
26 ltsrprg 6675 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
27263adant1 921 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
28 simp1l 927 . . . . . . . 8 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → v P)
29 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((v P x P) → (v +P x) P)
3028, 14, 29syl2anc 391 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (v +P x) P)
31 simp1r 928 . . . . . . . 8 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → u P)
32 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((u P y P) → (u +P y) P)
3331, 18, 32syl2anc 391 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (u +P y) P)
34 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((v P z P) → (v +P z) P)
3528, 19, 34syl2anc 391 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (v +P z) P)
36 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((u P w P) → (u +P w) P)
3731, 15, 36syl2anc 391 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (u +P w) P)
38 ltsrprg 6675 . . . . . . 7 ((((v +P x) P (u +P y) P) ((v +P z) P (u +P w) P)) → ([⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ↔ ((v +P x) +P (u +P w))<P ((u +P y) +P (v +P z))))
3930, 33, 35, 37, 38syl22anc 1135 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ↔ ((v +P x) +P (u +P w))<P ((u +P y) +P (v +P z))))
40 addcomprg 6554 . . . . . . . . 9 ((𝑟 P 𝑠 P) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
4140adantl 262 . . . . . . . 8 ((((v P u P) (x P y P) (z P w P)) (𝑟 P 𝑠 P)) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
42 addassprg 6555 . . . . . . . . 9 ((𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
4342adantl 262 . . . . . . . 8 ((((v P u P) (x P y P) (z P w P)) (𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P)) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
44 addclpr 6520 . . . . . . . . 9 ((𝑟 P 𝑠 P) → (𝑟 +P 𝑠) P)
4544adantl 262 . . . . . . . 8 ((((v P u P) (x P y P) (z P w P)) (𝑟 P 𝑠 P)) → (𝑟 +P 𝑠) P)
4628, 14, 31, 41, 43, 15, 45caov4d 5627 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((v +P x) +P (u +P w)) = ((v +P u) +P (x +P w)))
4741, 33, 35caovcomd 5599 . . . . . . . 8 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((u +P y) +P (v +P z)) = ((v +P z) +P (u +P y)))
4828, 19, 31, 41, 43, 18, 45caov42d 5629 . . . . . . . 8 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((v +P z) +P (u +P y)) = ((v +P u) +P (y +P z)))
4947, 48eqtrd 2069 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((u +P y) +P (v +P z)) = ((v +P u) +P (y +P z)))
5046, 49breq12d 3768 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (((v +P x) +P (u +P w))<P ((u +P y) +P (v +P z)) ↔ ((v +P u) +P (x +P w))<P ((v +P u) +P (y +P z))))
5139, 50bitrd 177 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ↔ ((v +P u) +P (x +P w))<P ((v +P u) +P (y +P z))))
5225, 27, 513bitr4d 209 . . . 4 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ [⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ))
53 addsrpr 6673 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P)) → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) = [⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R )
54533adant3 923 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) = [⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R )
55 addsrpr 6673 . . . . . 6 (((v P u P) (z P w P)) → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R )
56553adant2 922 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R )
5754, 56breq12d 3768 . . . 4 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ [⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ))
5852, 57bitr4d 180 . . 3 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R )))
591, 5, 9, 13, 583ecoptocl 6131 . 2 ((𝐶 R A R B R) → (A <R B ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B)))
60593coml 1110 1 ((A R B R 𝐶 R) → (A <R B ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  [cec 6040  Pcnp 6275   +P cpp 6277
 Copyright terms: Public domain W3C validator