ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltbtwnnq GIF version

Theorem ltbtwnnq 6571
Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 17-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltbtwnnq (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnq
StepHypRef Expression
1 df-rex 2329 . 2 (∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
2 ltbtwnnqq 6570 . 2 (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
3 ltrelnq 6520 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
43brel 4419 . . . . . 6 (𝐴 <Q 𝑥 → (𝐴Q𝑥Q))
54simprd 111 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝑥𝑥Q)
65adantr 265 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) → 𝑥Q)
76pm4.71ri 378 . . 3 ((𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝑥Q ∧ (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
87exbii 1512 . 2 (∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
91, 2, 83bitr4i 205 1 (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  wb 102  wex 1397  wcel 1409  wrex 2324   class class class wbr 3791  Qcnq 6435   <Q cltq 6440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator