Theorem ltbtwnnqq 6398

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnnqq	⊢ (A <Q B ↔ ∃x ∈ Q (A <Q x ∧ x <Q B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltbtwnnqq

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 6349	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4335	. . . 4 ⊢ (A <Q B → (A ∈ Q ∧ B ∈ Q))
3	2	simpld 105	. . 3 ⊢ (A <Q B → A ∈ Q)
4		ltexnqi 6392	. . 3 ⊢ (A <Q B → ∃y ∈ Q (A +Q y) = B)
5		nsmallnq 6396	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ Q → ∃z z <Q y)
6	1	brel 4335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z <Q y → (z ∈ Q ∧ y ∈ Q))
7	6	simpld 105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z <Q y → z ∈ Q)
8		ltaddnq 6390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → A <Q (A +Q z))
9	7, 8	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ Q ∧ z <Q y) → A <Q (A +Q z))
10	9	ancoms 255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z <Q y ∧ A ∈ Q) → A <Q (A +Q z))
11	10	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((z <Q y ∧ A ∈ Q) ∧ (A +Q y) = B) → A <Q (A +Q z))
12		ltanqi 6386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z <Q y ∧ A ∈ Q) → (A +Q z) <Q (A +Q y))
13	12	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z <Q y ∧ A ∈ Q) ∧ (A +Q y) = B) → (A +Q z) <Q (A +Q y))
14		breq2 3759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A +Q y) = B → ((A +Q z) <Q (A +Q y) ↔ (A +Q z) <Q B))
15	14	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z <Q y ∧ A ∈ Q) ∧ (A +Q y) = B) → ((A +Q z) <Q (A +Q y) ↔ (A +Q z) <Q B))
16	13, 15	mpbid 135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((z <Q y ∧ A ∈ Q) ∧ (A +Q y) = B) → (A +Q z) <Q B)
17		addclnq 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → (A +Q z) ∈ Q)
18	7, 17	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ Q ∧ z <Q y) → (A +Q z) ∈ Q)
19	18	ancoms 255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z <Q y ∧ A ∈ Q) → (A +Q z) ∈ Q)
20	19	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z <Q y ∧ A ∈ Q) ∧ (A +Q y) = B) → (A +Q z) ∈ Q)
21		breq2 3759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = (A +Q z) → (A <Q x ↔ A <Q (A +Q z)))
22		breq1 3758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = (A +Q z) → (x <Q B ↔ (A +Q z) <Q B))
23	21, 22	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = (A +Q z) → ((A <Q x ∧ x <Q B) ↔ (A <Q (A +Q z) ∧ (A +Q z) <Q B)))
24	23	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((z <Q y ∧ A ∈ Q) ∧ (A +Q y) = B) ∧ x = (A +Q z)) → ((A <Q x ∧ x <Q B) ↔ (A <Q (A +Q z) ∧ (A +Q z) <Q B)))
25	20, 24	rspcedv 2654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((z <Q y ∧ A ∈ Q) ∧ (A +Q y) = B) → ((A <Q (A +Q z) ∧ (A +Q z) <Q B) → ∃x ∈ Q (A <Q x ∧ x <Q B)))
26	11, 16, 25	mp2and 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z <Q y ∧ A ∈ Q) ∧ (A +Q y) = B) → ∃x ∈ Q (A <Q x ∧ x <Q B))
27	26	3impa 1098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z <Q y ∧ A ∈ Q ∧ (A +Q y) = B) → ∃x ∈ Q (A <Q x ∧ x <Q B))
28	27	3coml 1110	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ Q ∧ (A +Q y) = B ∧ z <Q y) → ∃x ∈ Q (A <Q x ∧ x <Q B))
29	28	3expia 1105	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ Q ∧ (A +Q y) = B) → (z <Q y → ∃x ∈ Q (A <Q x ∧ x <Q B)))
30	29	exlimdv 1697	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Q ∧ (A +Q y) = B) → (∃z z <Q y → ∃x ∈ Q (A <Q x ∧ x <Q B)))
31	5, 30	syl5 28	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Q ∧ (A +Q y) = B) → (y ∈ Q → ∃x ∈ Q (A <Q x ∧ x <Q B)))
32	31	impancom 247	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ∧ y ∈ Q) → ((A +Q y) = B → ∃x ∈ Q (A <Q x ∧ x <Q B)))
33	32	rexlimdva 2427	. . 3 ⊢ (A ∈ Q → (∃y ∈ Q (A +Q y) = B → ∃x ∈ Q (A <Q x ∧ x <Q B)))
34	3, 4, 33	sylc 56	. 2 ⊢ (A <Q B → ∃x ∈ Q (A <Q x ∧ x <Q B))
35		ltsonq 6382	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
36	35, 1	sotri 4663	. . 3 ⊢ ((A <Q x ∧ x <Q B) → A <Q B)
37	36	rexlimivw 2423	. 2 ⊢ (∃x ∈ Q (A <Q x ∧ x <Q B) → A <Q B)
38	34, 37	impbii 117	1 ⊢ (A <Q B ↔ ∃x ∈ Q (A <Q x ∧ x <Q B))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Qcnq 6264   +_Q cplq 6266   <_Q cltq 6269

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337

This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  6399  nqprrnd  6526  appdivnq  6544  recexprlemopl  6597  recexprlemopu  6599  cauappcvgprlemopl  6618  cauappcvgprlemopu  6620  cauappcvgprlem2  6632  caucvgprlemopl  6640  caucvgprlemopu  6642  caucvgprlem2  6651