Theorem ltdiv23d 8915

Description: Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdiv23d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltdiv23d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
ltdiv23d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ltdiv23d.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltdiv23d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) < 𝐵)

Proof of Theorem ltdiv23d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv23d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) < 𝐶)
2		ltdiv23d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltdiv23d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpregt0d 8861	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5		ltdiv23d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
6	5	rpregt0d 8861	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
7		ltdiv23 8037	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1170	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
9	1, 8	mpbid 145	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543  ℝcr 7042  0cc0 7043   < clt 7215   / cdiv 7827  ℝ⁺crp 8815

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-rp 8816

This theorem is referenced by:  resqrexlemga  10047