ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltle GIF version

Theorem ltle 7164
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltle ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem ltle
StepHypRef Expression
1 ltnsym 7163 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
2 lenlt 7153 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
31, 2sylibrd 162 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wcel 1409   class class class wbr 3792  cr 6946   < clt 7119  cle 7120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-lttrn 7056
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-xp 4379  df-cnv 4381  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125
This theorem is referenced by:  ltlei  7178  ltled  7194  ltleap  7695  lep1  7886  lem1  7888  letrp1  7889  ltmul12a  7901  bndndx  8238  nn0ge0  8264  zletric  8346  zlelttric  8347  zltnle  8348  zleloe  8349  zdcle  8375  uzind  8408  fnn0ind  8413  eluz2b2  8637  rpge0  8693  zltaddlt1le  8975  difelfznle  9095  elfzouz2  9119  elfzo0le  9143  fzosplitprm1  9192  fzostep1  9195  qletric  9201  qlelttric  9202  qltnle  9203  expgt1  9458  expnlbnd2  9542  faclbnd  9609  caucvgrelemcau  9807  resqrexlemdecn  9839  mulcn2  10064  nn0o  10219
  Copyright terms: Public domain W3C validator