ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltleii GIF version

Theorem ltleii 7834
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
ltleii 𝐴𝐵

Proof of Theorem ltleii
StepHypRef Expression
1 ltlei.1 . 2 𝐴 < 𝐵
2 lt.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
3 lt.2 . . 3 𝐵 ∈ ℝ
42, 3ltlei 7833 . 2 (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵)
51, 4ax-mp 5 1 𝐴𝐵
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1465   class class class wbr 3899  cr 7587   < clt 7768  cle 7769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-lttrn 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774
This theorem is referenced by:  0le1  8211  1le2  8896  1le3  8899  halfge0  8904  decleh  9184  uzuzle23  9334  fzo0to42pr  9965  4bc2eq6  10488  resqrexlemga  10763  sqrt9  10788  sqrt2gt1lt2  10789  sqrtpclii  10870  0.999...  11258  ef01bndlem  11390  sin01bnd  11391  cos01bnd  11392  cos2bnd  11394  cos12dec  11401  flodddiv4  11558  strleun  11975  dveflem  12782  sinhalfpilem  12799  sincosq1lem  12833  sincos4thpi  12848  sincos6thpi  12850  pigt3  12852  pige3  12853  cosq34lt1  12858  cos02pilt1  12859  ex-fl  12864  ex-gcd  12870
  Copyright terms: Public domain W3C validator