ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltletr GIF version

Theorem ltletr 7166
Description: Transitive law. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltletr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem ltletr
StepHypRef Expression
1 simprr 492 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐵𝐶)
2 simpl2 919 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 simpl3 920 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4 lenlt 7153 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
52, 3, 4syl2anc 397 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
61, 5mpbid 139 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → ¬ 𝐶 < 𝐵)
7 simprl 491 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐴 < 𝐵)
8 axltwlin 7146 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
98adantr 265 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
107, 9mpd 13 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
116, 10ecased 1255 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
1211ex 112 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  w3a 896  wcel 1409   class class class wbr 3792  cr 6946   < clt 7119  cle 7120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-pre-ltwlin 7055
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-xp 4379  df-cnv 4381  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125
This theorem is referenced by:  ltletri  7183  ltletrd  7492  ltleadd  7515  nngt0  8015  nnrecgt0  8027  elnnnn0c  8284  elnnz1  8325  zltp1le  8356  uz3m2nn  8611  ledivge1le  8750  addlelt  8786  zltaddlt1le  8975  elfz1b  9054  elfzodifsumelfzo  9159  ssfzo12bi  9183  oddge22np1  10193  nn0seqcvgd  10263
  Copyright terms: Public domain W3C validator