ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmpig GIF version

Theorem ltmpig 6323
Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltmpig ((A N B N 𝐶 N) → (A <N B ↔ (𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B)))

Proof of Theorem ltmpig
StepHypRef Expression
1 pinn 6293 . . . . 5 (A NA 𝜔)
2 pinn 6293 . . . . 5 (B NB 𝜔)
3 elni2 6298 . . . . . 6 (𝐶 N ↔ (𝐶 𝜔 𝐶))
4 iba 284 . . . . . . . . 9 (∅ 𝐶 → (A B ↔ (A B 𝐶)))
5 nnmord 6026 . . . . . . . . 9 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → ((A B 𝐶) ↔ (𝐶 ·𝑜 A) (𝐶 ·𝑜 B)))
64, 5sylan9bbr 436 . . . . . . . 8 (((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) 𝐶) → (A B ↔ (𝐶 ·𝑜 A) (𝐶 ·𝑜 B)))
763exp1 1119 . . . . . . 7 (A 𝜔 → (B 𝜔 → (𝐶 𝜔 → (∅ 𝐶 → (A B ↔ (𝐶 ·𝑜 A) (𝐶 ·𝑜 B))))))
87imp4b 332 . . . . . 6 ((A 𝜔 B 𝜔) → ((𝐶 𝜔 𝐶) → (A B ↔ (𝐶 ·𝑜 A) (𝐶 ·𝑜 B))))
93, 8syl5bi 141 . . . . 5 ((A 𝜔 B 𝜔) → (𝐶 N → (A B ↔ (𝐶 ·𝑜 A) (𝐶 ·𝑜 B))))
101, 2, 9syl2an 273 . . . 4 ((A N B N) → (𝐶 N → (A B ↔ (𝐶 ·𝑜 A) (𝐶 ·𝑜 B))))
1110imp 115 . . 3 (((A N B N) 𝐶 N) → (A B ↔ (𝐶 ·𝑜 A) (𝐶 ·𝑜 B)))
12 ltpiord 6303 . . . 4 ((A N B N) → (A <N BA B))
1312adantr 261 . . 3 (((A N B N) 𝐶 N) → (A <N BA B))
14 mulclpi 6312 . . . . . . 7 ((𝐶 N A N) → (𝐶 ·N A) N)
15 mulclpi 6312 . . . . . . 7 ((𝐶 N B N) → (𝐶 ·N B) N)
16 ltpiord 6303 . . . . . . 7 (((𝐶 ·N A) N (𝐶 ·N B) N) → ((𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B) ↔ (𝐶 ·N A) (𝐶 ·N B)))
1714, 15, 16syl2an 273 . . . . . 6 (((𝐶 N A N) (𝐶 N B N)) → ((𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B) ↔ (𝐶 ·N A) (𝐶 ·N B)))
18 mulpiord 6301 . . . . . . . 8 ((𝐶 N A N) → (𝐶 ·N A) = (𝐶 ·𝑜 A))
1918adantr 261 . . . . . . 7 (((𝐶 N A N) (𝐶 N B N)) → (𝐶 ·N A) = (𝐶 ·𝑜 A))
20 mulpiord 6301 . . . . . . . 8 ((𝐶 N B N) → (𝐶 ·N B) = (𝐶 ·𝑜 B))
2120adantl 262 . . . . . . 7 (((𝐶 N A N) (𝐶 N B N)) → (𝐶 ·N B) = (𝐶 ·𝑜 B))
2219, 21eleq12d 2105 . . . . . 6 (((𝐶 N A N) (𝐶 N B N)) → ((𝐶 ·N A) (𝐶 ·N B) ↔ (𝐶 ·𝑜 A) (𝐶 ·𝑜 B)))
2317, 22bitrd 177 . . . . 5 (((𝐶 N A N) (𝐶 N B N)) → ((𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B) ↔ (𝐶 ·𝑜 A) (𝐶 ·𝑜 B)))
2423anandis 526 . . . 4 ((𝐶 N (A N B N)) → ((𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B) ↔ (𝐶 ·𝑜 A) (𝐶 ·𝑜 B)))
2524ancoms 255 . . 3 (((A N B N) 𝐶 N) → ((𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B) ↔ (𝐶 ·𝑜 A) (𝐶 ·𝑜 B)))
2611, 13, 253bitr4d 209 . 2 (((A N B N) 𝐶 N) → (A <N B ↔ (𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B)))
27263impa 1098 1 ((A N B N 𝐶 N) → (A <N B ↔ (𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  c0 3218   class class class wbr 3755  𝜔com 4256  (class class class)co 5455   ·𝑜 comu 5938  Ncnpi 6256   ·N cmi 6258   <N clti 6259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291
This theorem is referenced by:  ordpipqqs  6358  ltsonq  6382  ltanqg  6384  ltmnqg  6385  1lt2nq  6389
  Copyright terms: Public domain W3C validator