Theorem ltmpig 6323

Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltmpig	⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (A <N B ↔ (𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B)))

Proof of Theorem ltmpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6293	. . . . 5 ⊢ (A ∈ N → A ∈ 𝜔)
2		pinn 6293	. . . . 5 ⊢ (B ∈ N → B ∈ 𝜔)
3		elni2 6298	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ N ↔ (𝐶 ∈ 𝜔 ∧ ∅ ∈ 𝐶))
4		iba 284	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ 𝐶 → (A ∈ B ↔ (A ∈ B ∧ ∅ ∈ 𝐶)))
5		nnmord 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔 ∧ 𝐶 ∈ 𝜔) → ((A ∈ B ∧ ∅ ∈ 𝐶) ↔ (𝐶 ·𝑜 A) ∈ (𝐶 ·𝑜 B)))
6	4, 5	sylan9bbr 436	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔 ∧ 𝐶 ∈ 𝜔) ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (A ∈ B ↔ (𝐶 ·𝑜 A) ∈ (𝐶 ·𝑜 B)))
7	6	3exp1 1119	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (B ∈ 𝜔 → (𝐶 ∈ 𝜔 → (∅ ∈ 𝐶 → (A ∈ B ↔ (𝐶 ·𝑜 A) ∈ (𝐶 ·𝑜 B))))))
8	7	imp4b 332	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → ((𝐶 ∈ 𝜔 ∧ ∅ ∈ 𝐶) → (A ∈ B ↔ (𝐶 ·𝑜 A) ∈ (𝐶 ·𝑜 B))))
9	3, 8	syl5bi 141	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (𝐶 ∈ N → (A ∈ B ↔ (𝐶 ·𝑜 A) ∈ (𝐶 ·𝑜 B))))
10	1, 2, 9	syl2an 273	. . . 4 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (𝐶 ∈ N → (A ∈ B ↔ (𝐶 ·𝑜 A) ∈ (𝐶 ·𝑜 B))))
11	10	imp 115	. . 3 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (A ∈ B ↔ (𝐶 ·𝑜 A) ∈ (𝐶 ·𝑜 B)))
12		ltpiord 6303	. . . 4 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A <N B ↔ A ∈ B))
13	12	adantr 261	. . 3 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (A <N B ↔ A ∈ B))
14		mulclpi 6312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ A ∈ N) → (𝐶 ·N A) ∈ N)
15		mulclpi 6312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ B ∈ N) → (𝐶 ·N B) ∈ N)
16		ltpiord 6303	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ·N A) ∈ N ∧ (𝐶 ·N B) ∈ N) → ((𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B) ↔ (𝐶 ·N A) ∈ (𝐶 ·N B)))
17	14, 15, 16	syl2an 273	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ B ∈ N)) → ((𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B) ↔ (𝐶 ·N A) ∈ (𝐶 ·N B)))
18		mulpiord 6301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ A ∈ N) → (𝐶 ·N A) = (𝐶 ·𝑜 A))
19	18	adantr 261	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ B ∈ N)) → (𝐶 ·N A) = (𝐶 ·𝑜 A))
20		mulpiord 6301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ B ∈ N) → (𝐶 ·N B) = (𝐶 ·𝑜 B))
21	20	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ B ∈ N)) → (𝐶 ·N B) = (𝐶 ·𝑜 B))
22	19, 21	eleq12d 2105	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ B ∈ N)) → ((𝐶 ·N A) ∈ (𝐶 ·N B) ↔ (𝐶 ·𝑜 A) ∈ (𝐶 ·𝑜 B)))
23	17, 22	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ B ∈ N)) → ((𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B) ↔ (𝐶 ·𝑜 A) ∈ (𝐶 ·𝑜 B)))
24	23	anandis 526	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) → ((𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B) ↔ (𝐶 ·𝑜 A) ∈ (𝐶 ·𝑜 B)))
25	24	ancoms 255	. . 3 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B) ↔ (𝐶 ·𝑜 A) ∈ (𝐶 ·𝑜 B)))
26	11, 13, 25	3bitr4d 209	. 2 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (A <N B ↔ (𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B)))
27	26	3impa 1098	1 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (A <N B ↔ (𝐶 ·N A) <N (𝐶 ·N B)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∅c0 3218   class class class wbr 3755  𝜔com 4256  (class class class)co 5455   ·_𝑜 comu 5938  Ncnpi 6256   ·_N cmi 6258   <_N clti 6259

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291

This theorem is referenced by:  ordpipqqs  6358  ltsonq  6382  ltanqg  6384  ltmnqg  6385  1lt2nq  6389