ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltne GIF version

Theorem ltne 6900
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltne ((A A < B) → BA)

Proof of Theorem ltne
StepHypRef Expression
1 ltnr 6892 . . . 4 (A ℝ → ¬ A < A)
2 breq2 3759 . . . . 5 (B = A → (A < BA < A))
32notbid 591 . . . 4 (B = A → (¬ A < B ↔ ¬ A < A))
41, 3syl5ibrcom 146 . . 3 (A ℝ → (B = A → ¬ A < B))
54necon2ad 2256 . 2 (A ℝ → (A < BBA))
65imp 115 1 ((A A < B) → BA)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wne 2201   class class class wbr 3755  cr 6710   < clt 6857
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-ltxr 6862
This theorem is referenced by:  gtneii  6910  ltnei  6918  gtned  6927  gt0ne0  7217  lt0ne0  7218  gt0ne0d  7299  nngt1ne1  7729  zdceq  8092
  Copyright terms: Public domain W3C validator