ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnsym GIF version

Theorem ltnsym 7264
Description: 'Less than' is not symmetric. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
ltnsym ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem ltnsym
StepHypRef Expression
1 lttr 7252 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐴))
213anidm13 1228 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐴))
32expd 254 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐴)))
4 ltnr 7255 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
54adantr 270 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
6 con3 604 . 2 ((𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐴) → (¬ 𝐴 < 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
73, 5, 6syl6ci 1375 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wcel 1434   class class class wbr 3793  cr 7042   < clt 7215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-lttrn 7152
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-ltxr 7220
This theorem is referenced by:  ltle  7265  ltnsymi  7277  elnnz  8442  zdclt  8506  xrltnsym  8944
  Copyright terms: Public domain W3C validator