ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltpnf GIF version

Theorem ltpnf 8773
Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltpnf (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnf
StepHypRef Expression
1 eqid 2054 . . . 4 +∞ = +∞
2 orc 641 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
31, 2mpan2 409 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
43olcd 661 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
5 rexr 7100 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 pnfxr 8763 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
7 ltxr 8766 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
85, 6, 7sylancl 398 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < +∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
94, 8mpbird 160 1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wo 637   = wceq 1257  wcel 1407   class class class wbr 3789  cr 6916   < cltrr 6921  +∞cpnf 7086  -∞cmnf 7087  *cxr 7088   < clt 7089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-cnex 7003
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ral 2326  df-rex 2327  df-v 2574  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-br 3790  df-opab 3844  df-xp 4376  df-pnf 7091  df-xr 7093  df-ltxr 7094
This theorem is referenced by:  0ltpnf  8774  xrlttr  8787  xrltso  8788  xrlttri3  8789  nltpnft  8801  xrrebnd  8803  xrre  8804  xltnegi  8819  elioc2  8876  elicc2  8878  ioomax  8888  ioopos  8890  elioopnf  8907  elicopnf  8909
  Copyright terms: Public domain W3C validator