Theorem ltposr 7002

Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltposr	⊢ <R Po R

Proof of Theorem ltposr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 6966	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		id 19	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓)
3	2, 2	breq12d 3806	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ 𝑓 <R 𝑓))
4	3	notbid 625	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → (¬ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ ¬ 𝑓 <R 𝑓))
5		ltsopr 6848	. . . . . . . 8 ⊢ <P Or P
6		ltrelpr 6757	. . . . . . . 8 ⊢ <P ⊆ (P × P)
7	5, 6	soirri 4749	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑥 +P 𝑦)
8		addcomprg 6830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑦) = (𝑦 +P 𝑥))
9	8	breq2d 3805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝑥 +P 𝑦)<P (𝑥 +P 𝑦) ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
10	7, 9	mtbii 632	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ¬ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥))
11		ltsrprg 6986	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
12	11	anidms 389	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
13	10, 12	mtbird 631	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ¬ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6259	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ R → ¬ 𝑓 <R 𝑓)
15	14	adantl 271	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ R) → ¬ 𝑓 <R 𝑓)
16		lttrsr 7001	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((𝑓 <R 𝑔 ∧ 𝑔 <R ℎ) → 𝑓 <R ℎ))
17	16	adantl 271	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → ((𝑓 <R 𝑔 ∧ 𝑔 <R ℎ) → 𝑓 <R ℎ))
18	15, 17	ispod 4067	. 2 ⊢ (⊤ → <R Po R)
19	18	trud 1294	1 ⊢ <R Po R

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 920   = wceq 1285  ⊤wtru 1286   ∈ wcel 1434  ⟨cop 3409   class class class wbr 3793   Po wpo 4057  (class class class)co 5543  [cec 6170  Pcnp 6543   +_P cpp 6545  <_P cltp 6547   ~_R cer 6548  Rcnr 6549   <_R cltr 6555

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-2o 6066  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-0nq0 6678  df-plq0 6679  df-mq0 6680  df-inp 6718  df-iplp 6720  df-iltp 6722  df-enr 6965  df-nr 6966  df-ltr 6969

This theorem is referenced by:  ltsosr  7003