ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrnqi GIF version

Theorem ltrnqi 6476
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For the converse, see ltrnqg 6475. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltrnqi (𝐴 <Q 𝐵 → (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴))

Proof of Theorem ltrnqi
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6420 . . . 4 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4355 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
3 ltrnqg 6475 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))
42, 3syl 14 . 2 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))
54ibi 165 1 (𝐴 <Q 𝐵 → (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  wcel 1393   class class class wbr 3761  cfv 4865  Qcnq 6335  *Qcrq 6339   <Q cltq 6340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-1o 5964  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-mi 6361  df-lti 6362  df-mpq 6400  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-mqqs 6405  df-1nqqs 6406  df-rq 6407  df-ltnqqs 6408
This theorem is referenced by:  addnqprllem  6582  addnqprulem  6583  recexprlemdisj  6685  recexprlemloc  6686  recexprlem1ssl  6688  recexprlem1ssu  6689  caucvgprlemk  6720  caucvgprprlemk  6738
  Copyright terms: Public domain W3C validator