Theorem ltso 7835

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 7834	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 < 𝑥)
2	1	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ 𝑥 < 𝑥)
3		lttr 7831	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
4	3	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
5	2, 4	ispod 4221	. . 3 ⊢ (⊤ → < Po ℝ)
6	5	mptru 1340	. 2 ⊢ < Po ℝ
7		axltwlin 7825	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦)))
8	7	rgen3 2517	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦))
9		df-iso 4214	. 2 ⊢ ( < Or ℝ ↔ ( < Po ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦))))
10	6, 8, 9	mpbir2an 926	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   ∧ w3a 962  ⊤wtru 1332   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414   class class class wbr 3924   Po wpo 4211   Or wor 4212  ℝcr 7612   < clt 7793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-ltxr 7798

This theorem is referenced by:  gtso  7836  ltnsym2  7847  suprlubex  8703  fimaxq  10566