ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lttri GIF version

Theorem lttri 7180
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
lt.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
lttri ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 lt.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 lt.3 . 2 𝐶 ∈ ℝ
4 lttr 7150 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
51, 2, 3, 4mp3an 1243 1 ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wcel 1409   class class class wbr 3791  cr 6945   < clt 7118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-pre-lttrn 7055
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-xp 4378  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-ltxr 7123
This theorem is referenced by:  1lt3  8153  2lt4  8155  1lt4  8156  3lt5  8158  2lt5  8159  1lt5  8160  4lt6  8162  3lt6  8163  2lt6  8164  1lt6  8165  5lt7  8167  4lt7  8168  3lt7  8169  2lt7  8170  1lt7  8171  6lt8  8173  5lt8  8174  4lt8  8175  3lt8  8176  2lt8  8177  1lt8  8178  7lt9  8180  6lt9  8181  5lt9  8182  4lt9  8183  3lt9  8184  2lt9  8185  1lt9  8186  8lt10  8557  7lt10  8558  6lt10  8559  5lt10  8560  4lt10  8561  3lt10  8562  2lt10  8563  1lt10  8564
  Copyright terms: Public domain W3C validator