ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  maxabslemlub GIF version

Theorem maxabslemlub 10294
Description: Lemma for maxabs 10296. A least upper bound for {𝐴, 𝐵}. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
maxabslemlub.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
maxabslemlub.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
maxabslemlub.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
maxabslemlub.clt (𝜑𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
Assertion
Ref Expression
maxabslemlub (𝜑 → (𝐶 < 𝐴𝐶 < 𝐵))

Proof of Theorem maxabslemlub
StepHypRef Expression
1 maxabslemlub.clt . . 3 (𝜑𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
2 maxabslemlub.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 maxabslemlub.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 maxabslemlub.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
53, 4readdcld 7262 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
63recnd 7261 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
74recnd 7261 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
86, 7subcld 7538 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
98abscld 10268 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
105, 9readdcld 7262 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
1110rehalfcld 8396 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) ∈ ℝ)
12 axltwlin 7299 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → (𝐶 < 𝐴𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))))
132, 11, 3, 12syl3anc 1170 . . 3 (𝜑 → (𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → (𝐶 < 𝐴𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))))
141, 13mpd 13 . 2 (𝜑 → (𝐶 < 𝐴𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)))
151adantr 270 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
163adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
174adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1816, 17resubcld 7604 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
19 2re 8228 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
2019a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 2 ∈ ℝ)
2120, 16remulcld 7263 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
2221recnd 7261 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
236adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
247adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2522, 23, 24subsub4d 7569 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (((2 · 𝐴) − 𝐴) − 𝐵) = ((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)))
26 2cnd 8231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 2 ∈ ℂ)
2726, 23mulsubfacd 7641 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = ((2 − 1) · 𝐴))
28 2m1e1 8275 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
2928oveq1i 5573 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 − 1) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
3027, 29syl6eq 2131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = (1 · 𝐴))
3123mulid2d 7251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3230, 31eqtrd 2115 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
3332oveq1d 5578 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (((2 · 𝐴) − 𝐴) − 𝐵) = (𝐴𝐵))
3425, 33eqtr3d 2117 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴𝐵))
35 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
3610adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
37 2rp 8872 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
3837a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 2 ∈ ℝ+)
3916, 36, 38ltmuldiv2d 8955 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) < ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) ↔ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)))
4035, 39mpbird 165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (2 · 𝐴) < ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))))
415adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
429adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
4321, 41, 42ltsubadd2d 7762 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (2 · 𝐴) < ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵)))))
4440, 43mpbird 165 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵)))
4534, 44eqbrtrrd 3827 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (𝐴𝐵) < (abs‘(𝐴𝐵)))
46 ltabs 10174 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < (abs‘(𝐴𝐵))) → (𝐴𝐵) < 0)
4718, 45, 46syl2anc 403 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (𝐴𝐵) < 0)
4816, 17sublt0d 7789 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((𝐴𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
4947, 48mpbid 145 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐴 < 𝐵)
5016, 17, 49maxabslemab 10293 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) = 𝐵)
5115, 50breqtrd 3829 . . . 4 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐶 < 𝐵)
5251ex 113 . . 3 (𝜑 → (𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → 𝐶 < 𝐵))
5352orim2d 735 . 2 (𝜑 → ((𝐶 < 𝐴𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (𝐶 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
5414, 53mpd 13 1 (𝜑 → (𝐶 < 𝐴𝐶 < 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 662  wcel 1434   class class class wbr 3805  cfv 4952  (class class class)co 5563  cc 7093  cr 7094  0cc0 7095  1c1 7096   + caddc 7098   · cmul 7100   < clt 7267  cmin 7398   / cdiv 7879  2c2 8208  +crp 8867  abscabs 10084
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-rp 8868  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086
This theorem is referenced by:  maxabslemval  10295  maxleastlt  10302
  Copyright terms: Public domain W3C validator