ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  maxleast GIF version

Theorem maxleast 10284
Description: The maximum of two reals is a least upper bound. Lemma 3.11 of [Geuvers], p. 10. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
maxleast (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)

Proof of Theorem maxleast
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioran 702 . . . 4 (¬ (𝐶 < 𝐴𝐶 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐶 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵))
2 simp3 941 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
3 lttri3 7294 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
43adantl 271 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5 maxabslemval 10279 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
6 3anass 924 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)) ↔ ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))))
75, 6sylib 120 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))))
8 breq1 3809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑦))
98notbid 625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑦))
109ralbidv 2373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑦))
11 breq2 3810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)))
1211imbi1d 229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
1312ralbidv 2373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
1410, 13anbi12d 457 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → ((∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))))
1514rspcev 2710 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
167, 15syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
17163adant3 959 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 < 𝑧)))
184, 17suplubti 6508 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 < 𝑧))
192, 18mpand 420 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 < 𝑧))
20 elpri 3440 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵))
2120adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵))
22 breq2 3810 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 → (𝐶 < 𝑧𝐶 < 𝐴))
2322biimpcd 157 . . . . . . . . . 10 (𝐶 < 𝑧 → (𝑧 = 𝐴𝐶 < 𝐴))
2423adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝑧 = 𝐴𝐶 < 𝐴))
25 breq2 3810 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐵 → (𝐶 < 𝑧𝐶 < 𝐵))
2625biimpcd 157 . . . . . . . . . 10 (𝐶 < 𝑧 → (𝑧 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
2726adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝑧 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
2824, 27orim12d 733 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → ((𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵) → (𝐶 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
2921, 28mpd 13 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐶 < 𝑧) → (𝐶 < 𝐴𝐶 < 𝐵))
3029rexlimiva 2477 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 < 𝑧 → (𝐶 < 𝐴𝐶 < 𝐵))
3119, 30syl6 33 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) → (𝐶 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
3231con3d 594 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ (𝐶 < 𝐴𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))
331, 32syl5bir 151 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐶 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))
34 simp1 939 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3534, 2lenltd 7330 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
36 simp2 940 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3736, 2lenltd 7330 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
3835, 37anbi12d 457 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐶𝐵𝐶) ↔ (¬ 𝐶 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)))
394, 17supclti 6506 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4039, 2lenltd 7330 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))
4133, 38, 403imtr4d 201 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶))
4241imp 122 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  {cpr 3418   class class class wbr 3806  cfv 4953  (class class class)co 5564  supcsup 6490  cr 7078   + caddc 7082   < clt 7251  cle 7252  cmin 7382   / cdiv 7863  2c2 8192  abscabs 10068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192  ax-arch 7193  ax-caucvg 7194
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-sup 6492  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-2 8201  df-3 8202  df-4 8203  df-n0 8392  df-z 8469  df-uz 8737  df-rp 8852  df-iseq 9558  df-iexp 9609  df-cj 9914  df-re 9915  df-im 9916  df-rsqrt 10069  df-abs 10070
This theorem is referenced by:  maxleastb  10285  dfabsmax  10288
  Copyright terms: Public domain W3C validator