ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mnflt GIF version

Theorem mnflt 8804
Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnflt (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnflt
StepHypRef Expression
1 eqid 2056 . . . 4 -∞ = -∞
2 olc 642 . . . 4 ((-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
31, 2mpan 408 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
43olcd 663 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))))
5 mnfxr 8794 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
6 rexr 7129 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 ltxr 8795 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
85, 6, 7sylancr 399 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
94, 8mpbird 160 1 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3791  cr 6945   < cltrr 6950  +∞cpnf 7115  -∞cmnf 7116  *cxr 7117   < clt 7118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-cnex 7032
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-xp 4378  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123
This theorem is referenced by:  mnflt0  8805  mnfltxr  8807  xrlttr  8816  xrltso  8817  xrlttri3  8818  ngtmnft  8831  xrrebnd  8832  xrre3  8835  xltnegi  8848  elico2  8906  elicc2  8907  ioomax  8917  elioomnf  8937  qbtwnxr  9213
  Copyright terms: Public domain W3C validator