Theorem mnfltxr 9565

Description: Minus infinity is less than an extended real that is either real or plus infinity. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfltxr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt 9562	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
2		mnfltpnf 9564	. . 3 ⊢ -∞ < +∞
3		breq2 3928	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
4	2, 3	mpbiri 167	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
5	1, 4	jaoi 705	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  ℝcr 7612  +∞cpnf 7790  -∞cmnf 7791   < clt 7793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-cnex 7704

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798

This theorem is referenced by:  xrltso  9575