ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mnfxr GIF version

Theorem mnfxr 7790
Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
mnfxr -∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem mnfxr
StepHypRef Expression
1 df-mnf 7771 . . . . 5 -∞ = 𝒫 +∞
2 pnfex 7787 . . . . . 6 +∞ ∈ V
32pwex 4077 . . . . 5 𝒫 +∞ ∈ V
41, 3eqeltri 2190 . . . 4 -∞ ∈ V
54prid2 3600 . . 3 -∞ ∈ {+∞, -∞}
6 elun2 3214 . . 3 (-∞ ∈ {+∞, -∞} → -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
75, 6ax-mp 5 . 2 -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
8 df-xr 7772 . 2 * = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
97, 8eleqtrri 2193 1 -∞ ∈ ℝ*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1465  Vcvv 2660  cun 3039  𝒫 cpw 3480  {cpr 3498  cr 7587  +∞cpnf 7765  -∞cmnf 7766  *cxr 7767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-un 4325  ax-cnex 7679
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-uni 3707  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772
This theorem is referenced by:  elxr  9531  xrltnr  9534  mnflt  9537  mnfltpnf  9539  nltmnf  9542  mnfle  9546  xrltnsym  9547  xrlttri3  9551  ngtmnft  9568  xrrebnd  9570  xrre2  9572  xrre3  9573  ge0gtmnf  9574  xnegcl  9583  xltnegi  9586  xaddf  9595  xaddval  9596  xaddmnf1  9599  xaddmnf2  9600  pnfaddmnf  9601  mnfaddpnf  9602  xrex  9607  xltadd1  9627  xlt2add  9631  xsubge0  9632  xposdif  9633  xleaddadd  9638  elioc2  9687  elico2  9688  elicc2  9689  ioomax  9699  iccmax  9700  elioomnf  9719  unirnioo  9724  xrmaxadd  10998  reopnap  12634  blssioo  12641  tgioo  12642
  Copyright terms: Public domain W3C validator