Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mod2eq1n2dvds GIF version

Theorem mod2eq1n2dvds 10191
 Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
mod2eq1n2dvds (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds
StepHypRef Expression
1 0ne1 8057 . . . . . 6 0 ≠ 1
2 pm13.181 2302 . . . . . 6 (((𝑁 mod 2) = 0 ∧ 0 ≠ 1) → (𝑁 mod 2) ≠ 1)
31, 2mpan2 409 . . . . 5 ((𝑁 mod 2) = 0 → (𝑁 mod 2) ≠ 1)
43neneqd 2241 . . . 4 ((𝑁 mod 2) = 0 → ¬ (𝑁 mod 2) = 1)
54adantl 266 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ (𝑁 mod 2) = 1)
6 mod2eq0even 10189 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ 2 ∥ 𝑁))
76biimpa 284 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 2 ∥ 𝑁)
87notnotd 570 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑁)
95, 82falsed 628 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
10 simpr 107 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → (𝑁 mod 2) = 1)
11 1ne0 8058 . . . . . . 7 1 ≠ 0
12 pm13.181 2302 . . . . . . 7 (((𝑁 mod 2) = 1 ∧ 1 ≠ 0) → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
1311, 12mpan2 409 . . . . . 6 ((𝑁 mod 2) = 1 → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
1413neneqd 2241 . . . . 5 ((𝑁 mod 2) = 1 → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
1514adantl 266 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
166notbid 602 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 mod 2) = 0 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
1716adantr 265 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → (¬ (𝑁 mod 2) = 0 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
1815, 17mpbid 139 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
1910, 182thd 168 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
20 2nn 8144 . . . . 5 2 ∈ ℕ
21 zmodfz 9296 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) ∈ (0...(2 − 1)))
2220, 21mpan2 409 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0...(2 − 1)))
23 2m1e1 8107 . . . . 5 (2 − 1) = 1
2423oveq2i 5551 . . . 4 (0...(2 − 1)) = (0...1)
2522, 24syl6eleq 2146 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0...1))
26 fz01or 10190 . . 3 ((𝑁 mod 2) ∈ (0...1) ↔ ((𝑁 mod 2) = 0 ∨ (𝑁 mod 2) = 1))
2725, 26sylib 131 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ∨ (𝑁 mod 2) = 1))
289, 19, 27mpjaodan 722 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∨ wo 639   = wceq 1259   ∈ wcel 1409   ≠ wne 2220   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  0cc0 6947  1c1 6948   − cmin 7245  ℕcn 7990  2c2 8040  ℤcz 8302  ...cfz 8976   mod cmo 9272   ∥ cdvds 10108 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-q 8652  df-rp 8682  df-fz 8977  df-fl 9222  df-mod 9273  df-dvds 10109 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator