ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqadd1 GIF version

Theorem modqadd1 10102
Description: Addition property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqadd1.a (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
modqadd1.b (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
modqadd1.c (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
modqadd1.dq (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
modqadd1.dgt0 (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqadd1.ab (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
Assertion
Ref Expression
modqadd1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqadd1
StepHypRef Expression
1 modqadd1.ab . 2 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
2 modqadd1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
3 modqadd1.dq . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
4 modqadd1.dgt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐷)
5 modqval 10065 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
62, 3, 4, 5syl3anc 1201 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
7 modqadd1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
8 modqval 10065 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
97, 3, 4, 8syl3anc 1201 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
106, 9eqeq12d 2132 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
11 oveq1 5749 . . . . 5 ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
1210, 11syl6bi 162 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
13 qcn 9394 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
142, 13syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
15 modqadd1.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
16 qcn 9394 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
1715, 16syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
18 qcn 9394 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
193, 18syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
204gt0ne0d 8242 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ≠ 0)
21 qdivcl 9403 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
222, 3, 20, 21syl3anc 1201 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
2322flqcld 10018 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
2423zcnd 9142 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
2519, 24mulcld 7754 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
2614, 17, 25addsubd 8062 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶))
27 qcn 9394 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
287, 27syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
29 qdivcl 9403 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
307, 3, 20, 29syl3anc 1201 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
3130flqcld 10018 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
3231zcnd 9142 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
3319, 32mulcld 7754 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
3428, 17, 33addsubd 8062 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶))
3526, 34eqeq12d 2132 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) + 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) + 𝐶)))
3612, 35sylibrd 168 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
37 oveq1 5749 . . . 4 (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷))
38 qaddcl 9395 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ)
392, 15, 38syl2anc 408 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ)
40 modqcyc2 10101 . . . . . 6 ((((𝐴 + 𝐶) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
4139, 23, 3, 4, 40syl22anc 1202 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷))
42 qaddcl 9395 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ)
437, 15, 42syl2anc 408 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ)
44 modqcyc2 10101 . . . . . 6 ((((𝐵 + 𝐶) ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
4543, 31, 3, 4, 44syl22anc 1202 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
4641, 45eqeq12d 2132 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
4737, 46syl5ib 153 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
4836, 47syld 45 . 2 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))
491, 48mpd 13 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  0cc0 7588   + caddc 7591   · cmul 7593   < clt 7768  cmin 7901   / cdiv 8400  cz 9022  cq 9379  cfl 10009   mod cmo 10063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-q 9380  df-rp 9410  df-fl 10011  df-mod 10064
This theorem is referenced by:  modqaddabs  10103  modqaddmod  10104  modqadd12d  10121  modqaddmulmod  10132  moddvds  11429
  Copyright terms: Public domain W3C validator